127838-229237

В случае, когда электрический заряд распределен в пространстве с объемной плотностью r = dqdV , теорема Гаусса имеет вид:

Используя теорему Гаусса для электростатического поля в вакууме, можно сравнительно легко определить напряженность поля, создаваемого симметричными заряженными телами.

Напряженность поля, создаваемого равномерно заряженной сферической поверхностью:

где R – радиус заряженной сферической поверхности (рис. 1.6).

Рис. 1.6

Напряженность поля, создаваемого бесконечной заряженной нитью:

где t = dqdl – линейная плотность заряда – величина заряда,

находящегося на единице длины нити, r – расстояние от нити до точки, в которой определяется напряженность.

Напряженность поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью:

11

где σ = dqdS – поверхностная плотность заряда – заряд, нахо-

дящийся на единице площади поверхности.

Электрический диполь представляет собой нейтральную систему из двух разноименных равных по модулю зарядов + q и

− q , расположенных на расстоянии l , называемом плечом дипо-

ля. Диполь характеризуется векторной величиной – дипольным

моментом:

Вектор p (так же как и l ) направлен от отрицательного заряда к положительному (рис. 1.7).

Рис. 1.7

В однородном электрическом поле с напряженностью E на диполь действует вращающий механический момент пары сил F+ = F− = qE , который стремится повернуть диполь по направле-

На рисунке 1.8 вектор M направлен перпендикулярно плоскости рисунка.

Рис. 1.8

где α – угол между векторами p и E .

3. РАБОТА СИЛ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ. ПОТЕНЦИАЛ. РАЗНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛОВ

Элементарная работа сил электростатического поля при переносе заряда q на бесконечно малое перемещение dl равна:

а вся работа сил поля на пути от точки 1 до точки 2 определяется выражением:

где α – угол между вектором E и элементарным перемещением заряда dl (рис. 1.9).

Рис. 1.9

Работа сил электростатического поля не зависит от траектории, по которой перемещается заряд в этом поле. Электростатические силы являются консервативными, так как работа сил электростатического поля по перемещению заряда q по замкнутой

траектории, определяемая выражением A = qò E × dl , равна нулю. В этом выражении интеграл ò E × dl называется циркуляцией век-

тора напряженности E .

13

Теорема о циркуляции вектора напряженности электро-

статического поля E : циркуляция вектора напряженности в лю- бом электростатическом поле равна нулю:

где L – длина контура, вдоль которого производится интегрирование.

Поле, обладающее свойством (3.3), называется потенциальным. Любое электростатическое поле является потенциальным.

Потенциальная энергия электростатического взаимодей-

ствия двух точечных (или сферических) зарядов определяется с точностью до некоторой постоянной:

Потенциал – скалярная физическая величина, равная отношению потенциальной энергии W положительного заряда q , поме-

Потенциал определяется с точностью до произвольной аддитивной постоянной. Для тел конечных размеров потенциал равный нулю удобно выбрать на бесконечности ( r → ∞ ).

Потенциал поля точечного заряда определяется выражением:

где r – расстояние от заряда до данной точки поля.

Работа сил электростатического поля при перемещении за-

ряда q из точки с потенциалом j1 в точку с потенциалом j2 оп-

При наличии только электростатических взаимодействий разность потенциалов называется напряжением: U = j1 - j2 .

14

Связь напряженности однородного электростатического поля с напряжением (разностью потенциалов) задается соот-

ношением:

4.ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ДИЭЛЕКТРИКАХ. ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЕМКОСТЬ. КОНДЕНСАТОРЫ

Диэлектрик – вещество, не имеющее свободных электрических зарядов и не являющееся, таким образом, проводником электрического тока. Диэлектрик содержит так называемые связанные заряды – нескомпенсированные заряды, входящие в состав молекул диэлектрика, не способные свободно перемещаться по его объему.

Поляризация однородного диэлектрика, внесенного во внешнее электрическое поле, – это появление на поверхностях диэлектрика связанных электрических зарядов, в результате чего результирующий дипольный момент всего диэлектрика становится отличным от нуля.

Существует несколько типов диэлектриков: неполярные (например, N2 , H 2 , O2 , CO2 ), полярные (например, H 2O , NH 3 ,

SO2 ), ионные (например, KCl , NaCl ).

Различают несколько типов (видов) поляризации диэлектриков.

Электронная (деформационная) поляризация диэлектрика с неполярными молекулами – возникновение у молекул индуцированного дипольного момента (рис. 1.12) за счет смещения зарядов: электроны, не отрываясь от молекулы, смещаются против направления вектора напряженности (до внесения в поле дипольный момент молекул равен нулю).

Ориентационная (дипольная) поляризация диэлектрика с полярными молекулами – ориентация имеющихся дипольных моментов молекул (рис. 1.13) по полю (до внесения в поле ди-

16

польный момент молекул не равен нулю). В этом случае говорят о так называемой преимущественной ориентации дипольных моментов.

Ионная поляризация диэлектриков с ионными кристалли-

ческими решетками – смещение подрешетки положительных ионов вдоль поля, а отрицательных – против поля, приводящее к возникновению дипольного момента.

Поляризованность (вектор поляризации) диэлектрика в

некоторой точке равна отношению суммарного дипольного мо-

V

[P]= 1 Кл/м2,

где pi – дипольный момент отдельной молекулы.

Рис. 1.12 Рис. 1.13

Если диэлектрик поляризован однородно, то поляризован-

ность P равна сумме дипольных моментов отдельных молекул, содержащихся в единице объема вещества.

Для изотропного однородного диэлектрика (обладающего одинаковыми диэлектрическими свойствами по всем направлениям по своему объему) вектор поляризации пропорционален на-

где χ – безразмерная величина, которая называется диэлектриче-

ской восприимчивостью вещества, и количественно характери-

зует способность диэлектрика к поляризации.

Напряженность электрического поля E в диэлектрике является суперпозицией напряженности электрического поля E0 сто-

ронних зарядов и напряженности электрического поля E¢ связанных зарядов:

Теорема Гаусса для вектора D : поток вектора электриче-

ского смещения сквозь произвольную замкнутую поверхность ра- вен алгебраической сумме свободных зарядов, заключенных внут- ри этой поверхности:

называется диэлектрической проницаемостью вещества, кото-

рая показывает во сколько раз ослабляется поле внутри диэлектрика по сравнению с полем в вакууме:

пряженность поля в диэлектрике.

Проводник – вещество, обладающее свободными носителями заряда (электроны в металлах, ионы в электролитах, электроны и ионы в ионизированных газах и плазме), следовательно, проводя-

18

щее электрический ток. Поскольку все металлы являются хорошими проводниками, то в дальнейшем, если не указано иное, проводниками будем считать металлы.

Уединенный проводник – проводник, удаленный от других проводников, тел и зарядов.

Электроемкость уединенного проводника – величина, чис-

Конденсатор – система проводников, обладающая значительно большей емкостью, чем уединенный проводник. Простейший конденсатор состоит из двух проводников, расположенных на малом расстоянии друг от друга и разделенных диэлектриком, которые несут одинаковые по модулю, но противоположные по знаку заряды, и называются обкладками конденсатора. В зависимости от формы обкладок различают плоские, сферические и цилиндрические конденсаторы.

Электроемкость конденсатора – величина, численно равная отношению модуля заряда, находящегося на одной из обкладок

Электроемкость плоского конденсатора прямо пропорцио-

нальна площади пластин S и обратно пропорциональна расстоянию d между ними:

где ε – диэлектрическая проницаемость диэлектрика, находящегося между пластинами.

Электроемкость сферического конденсатора находится из

где R1 и R2 – соответствующие радиусы обкладок конденсатора.

Электроемкость цилиндрического конденсатора равна

C = 4πε( 0 εR1 R)2 , (4.13) ln R1 R2

где R1 и R2 – соответствующие радиусы обкладок конденсатора.

Для увеличения емкости и варьирования ее возможных значений конденсаторы соединяют в батареи, причем это соединение может осуществляться как последовательно, так и парал-

лельно.

При последовательном соединении конденсаторов

(рис. 1.14) величина, обратная общей емкости полученной батареи, равна сумме величин, обратных емкостям отдельных конденсаторов:

При параллельном соединении конденсаторов (рис. 1.15)

емкость полученной батареи равна сумме емкостей отдельных конденсаторов:

n

C = åCi . (4.15)

i=1

Необходимо отметить, что при последовательном соединении конденсаторов результирующая емкость всегда меньше самой малой емкости, используемой в батарее. При последовательном соединении конденсаторов заряд на каждом из них одинаков, а суммируются разности потенциалов; при параллельном соединении разность потенциалов между обкладками каждого конденсатора одинакова, а суммируются их заряды.

20