127838-229237

Логарифмический декремент затухания λ определяется как натуральный логарифм отношения двух значений амплитуд, взя-

фективность» рассеяния энергии контура при наличии в нем активного сопротивления. Эта величина определяется из соотношения:

При малом затухании добротность контура равна отношению энергии, запасенной в контуре в произвольный момент времени t , к убыли этой энергии за период, умноженному на 2π :

Вынужденные колебания – незатухающие колебания, возникающие в R, L, C -цепи под действием внешнего периодически

Сила тока I в такой цепи также изменяется по синусоидальному закону, но сдвинута по фазе относительно фазы колебаний

Закон Ома для переменного тока: сила тока при устано-

вившихся вынужденных колебаниях в цепи, содержащей последо- вательно включенные R , L и C , определяется выражением:

ременного тока (или импеданс), R – активное сопротивление,

wC

ление.

52

Для расчета цепей синусоидального тока широкое примене-

ние получил символический, или комплексный, метод, в кото-

ром токи и напряжения заменяют их комплексными изображениями или символами.

Метод основан на том, что в цепях синусоидального переменного тока от уравнений, составленных на основе правил Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений и являющихся дифференциальными уравнениями, можно перейти к алгебраическим уравнениям, составленным относительно комплексных символов тока и напряжения. При этом мгновенное значение тока i

заменяют комплексным символом I& , который в экспоненциальной форме комплексного числа имеет вид I& = I0 e jϕ , где ϕ – фаза тока

i относительно фазы, выбранной за нулевую. Мгновенное значение напряжения на активном сопротивлении R = Ri заменяют комплексом RI& , по фазе совпадающим с током I& . Мгновенное значение напряжения на индуктивности uL = L(didt) заменяют

комплексом I&jwL , опережающим ток на 90o ; мгновенное значе-

отстающим от тока на 90o ; мгновенное значение напряжения u –

где U& – комплексный символ напряжения, I& – комплексный символ тока, R – комплексный символ активного сопротивления R (содержит только действительную часть), jωL – комплексный

символ индуктивного сопротивления, w-Cj – комплексный символ емкостного сопротивления.

53

ременного тока.

Так как токи и напряжения на различных участках электрической цепи синусоидального тока, как правило, по фазе не совпадают, то наглядное представление о фазовом расположении различных векторов дает векторная диаграмма напряжений и токов. Для этого изображают две взаимно-перпендикулярные оси: по оси абсцисс откладывают действительную часть комплексного значения тока или напряжения (обозначают + 1), а по оси ординат –

мнимую (обозначают + j , где j = −1 ). Для простейшей схемы

(рис. 1.37 а) приведен пример векторной диаграммы на рисунке

1.37 б.

Рис. 1.37

Сдвиг фаз ϕ между током и напряжением в цепи синусои-

Активная мощность в цепи переменного тока – среднее значение мгновенной мощности p за период T :

ния (U = U 0 2 ), ϕ – сдвиг фаз между током и напряжением в цепи.

Действующим значением силы переменного тока называ-

ется сила такого постоянного тока, при которой в данной цепи выделяется такая же мощность, как и при переменном токе. Анало-

гично определяется действующее значение напряжения.

Реактивная мощность в цепи переменного тока находится из соотношения:

где I – действующее значение силы тока, U – действующее значение напряжения, ϕ – сдвиг фаз между током и напряжением.

где I и U – действующие значения силы тока и напряжения соответственно. Полная мощность переменного тока измеряется в вольт-амперах (ВА).

Полная, активная и реактивная мощности связаны соотно-

где I&* – сопряженный комплекс тока, Re[U&I&* ] и Im[U&I&* ] – дейст-

вительная и мнимая части выражения для полной мощности соответственно (подробнее в главе данного раздела «Примеры решения задач»).

55

Первое уравнение Максвелла в интегральной форме связы-

вает циркуляцию вектора напряженности электрического поля E по произвольному замкнутому контуру L и производную по времени от магнитного потока Φ через произвольную поверхность

Уравнение (13.28) представляет собой обобщение закона электромагнитной индукции Фарадея (10.1), оно показывает, что изменяющееся во времени магнитное поле порождает вихревое

электрическое поле. При этом под E понимается напряженность суммарного электрического поля, которое складывается из электростатического поля, создаваемого неподвижными зарядами, и вихревого поля, обусловленного изменением во времени магнитного поля. Циркуляция же вектора напряженности электростатического поля всегда равна нулю (смотри выражение (3.3)).

Второе уравнение Максвелла в интегральной форме уста-

навливает связь между циркуляцией вектора напряженности маг-

нитного поля H по произвольному замкнутому контуру L и силой полного тока, охватываемого этим контуром, или, иначе говоря, пересекающего поверхность S , ограниченную этим контуром:

Уравнение (13.29) является обобщением теоремы о циркуля-

ции вектора H (11.6) с учетом гипотезы Максвелла: изменяю-

щееся во времени электрическое поле подобно току проводимо- сти (то есть току, связанному с движением электрических заря- дов в проводящей среде) порождает в окружающем пространст-

ве магнитное поле. Максвелл назвал переменное электрическое поле током смещения, а частную производную по времени от

56

вектора электрического смещения ¶¶Dt , размерность которой сов-

падает с размерностью плотности тока, – плотностью тока сме-

щения.

Сумму токов проводимости и тока смещения называют пол-

ным током. Плотность полного тока равна rjполн = rj + ¶¶Dt . Тогда

можно сказать, что вихревое магнитное поле создается полным током, то есть током проводимости (при движении электрических зарядов) и током смещения (при изменении во времени электрического поля).

Третье уравнение Максвелла в интегральной форме представляет собой теорему Гаусса для вектора D : поток вектора

электрического смещения D через произвольную замкнутую по- верхность S равен стороннему заряду q , расположенному внут-

ри этой поверхности:

где ρ – объемная плотность сторонних зарядов.

Уравнение (13.30) показывает, что источниками электрического поля служат электрические заряды. По существу это уравнение эквивалентно закону Кулона и принципу суперпозиции электрических полей.

Четвертое уравнение Максвелла в интегральной форме

Уравнение (13.31) отражает тот факт, что в природе не обнаружены магнитные заряды, и силовые линии магнитного поля являются замкнутыми.

Различие в знаках правых частей первого и второго уравнений Максвелла свидетельствует о том, что силовые линии вихревого

57

электрического поля, вызванного изменением во времени магнит-

ного поля, образуют с вектором ¶¶Bt левовинтовую систему, а ли-

нии напряженности магнитного поля, созданного изменением

электрического поля, образуют с вектором ¶D правовинтовую

¶t

систему (рис. 1.38).

Рис. 1.38

Из уравнений Максвелла видно, что переменное магнитное поле всегда связано с индуцируемым им переменным электрическим полем. И наоборот: переменное электрическое поле всегда связано с порождаемым им переменным магнитным полем. Следовательно, электрическое и магнитное поля неразрывно связаны друг с другом – они образуют единое электромагнитное поле. Из уравнений Максвелла также следует, что переменное электромагнитное поле способно существовать самостоятельно – без электрических зарядов и токов.

Для стационарных полей ( E = const и B = const ) уравнения Максвелла распадаются на две группы независимых уравнений:

В этом случае источниками электрического поля являются только электрические заряды, а источниками магнитного – только токи проводимости. Стационарные электрические и магнитные поля независимы друг от друга, что позволяет изучать их по отдельности.

58

С помощью теоремы Стокса и теоремы Гаусса можно пред-

ставить систему уравнений Максвелла в дифференциальной форме (они устанавливают связь между величинами, которые характеризуют поле в каждой точке пространства):

Первая пара уравнений этой системы свидетельствует о том, что источниками электрического поля являются электрические заряды и переменное во времени магнитное поле. Вторая пара уравнений утверждает, что магнитное поле возбуждается движущимися зарядами (электрическими токами) и переменными электрическими полями.

При заданном распределении плотности зарядов и токов решение системы уравнений Максвелла в дифференциальной форме позволяет полностью определить напряженность электрического

E и индукцию магнитного B полей. Для этого уравнения Максвелла дополняют соотношениями, которые связывают D и j с

E , а также H с B , называемыми материальными уравнениями.

В случае изотропных сред, не содержащих сегнетоэлектриков и

(смотри выражения (4.6), (5.16) и (11.5)).

Уравнения Максвелла являются основными законами электродинамики. Эти уравнения не выводятся, а постулируются на основе обобщения экспериментальных данных. Правильность уравнений Максвелла подтверждена совпадением многочисленных следствий этих уравнений с экспериментом.

59

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. Два одинаковых маленьких шарика массой 0,10 г каждый подвешены на непроводящих нитях длиной 1,0 м к одной точке. После того, как шарикам были сообщены одинаковые заряды, они разошлись на расстояние 9,0 см. Определить заряды шариков. Диэлектрическую проницаемость воздуха принять равной единице.

Дано:

m = 0,10 г =1,0 ×10−4 кг, l = 1,0 м,

r = 9,0 см = 0,090 м, ε =1,0 .

Найти: q .

Решение. После сообщения одинаковых электрических зарядов шарики будут взаимодействовать между собой. Таким образом, на каждый заряженный шарик действуют сила тяжести mg ,

сила натяжения нити T и кулоновская сила отталкивания F

(рис. 1.39).

Рис. 1.39

60