127838-229237

Каждый из шариков находится в одинаковых условиях, поэтому достаточно рассмотреть равновесие одного из них. Условие

Разделив первое равенство на второе, получим значение тангенса угла отклонения шарика от положения равновесия:

Сила электростатического взаимодействия двух точечных зарядов, находящихся в однородной изотропной среде, определяется законом Кулона [1.4]*:

тогда выражение (4) запишется в виде:

откуда окончательно находится величина искомого заряда:

* В квадратных скобках даны ссылки на формулы из теоретической части. В частности, [1.4] – ссылка на 4-ю формулу 1-й главы (с. 7).

61

Подставляя числовые значения величин, получим:

Ответ: 6,3 нКл.

Пример 2. Определить силу взаимодействия точечного заряда 5,0 нКл с тонким стержнем, равномерно заряженным с линейной плотностью 2,0 мкКл/м. Точечный заряд находится на расстоянии 10 см от стержня. Углы, образованные стержнем и прямыми, проходящими через точечный заряд и его концы, равны соответствен-

но 30o и 135o (рис. 1.40).

Дано:

τ = 2,0 мкКл/м = 2,0 ×10−6 Кл/м, r0 =10 см = 0,10 м

q0 = 5,0 нКл = 5,0 ×10−9 Кл,

a1 = 30o ,

a2 =135o .

Найти: F .

Решение. Так как размерами стержня по сравнению с расстоянием от стержня до точечного заряда пренебречь нельзя, то заряд, находящийся на стержне, не является точечным. Следовательно, воспользоваться законом Кулона в виде [1.2] непосредственно нельзя.

Однако, если выделить на стержне бесконечно малый участок длиной dl (масштаб на рис. 1.40 не соблюден), то находящийся на

можно рассматривать как точечный. Сила взаимодействия зарядов q0 и dq , находящихся в вакууме, по закону Кулона [1.2] будет иметь вид:

62

или с учетом выражения (1):

где r – расстояние от выделенного на заряженном стрежне элементарного заряда до заряда q0 .

Выражение (5) определяет только модуль элементарной силы dF , которая является векторной величиной. Поэтому вектор dF необ-

63

ходимо разложить на две составляющие: dF , перпендикулярную стержню, и dF|| , параллельную ему.

Из рисунка 1.40 очевидны соотношения:

Таким образом, модуль результирующей силы, действующей на заряд q0 , определяется по теореме Пифагора. С учетом тригонометрических соотношений получим:

Подставляя числовые значения величин в (10), получим:

64

Ответ: F = 14,3 мН.

Пример 3. Два точечных заряда + 4,5 ×10−7 Кл и - 9,0 ×10−7 Кл находятся в керосине на расстоянии 15 см друг от друга. Определить напряженность и потенциал электростатического поля в точке, расположенной на расстоянии 25 см от положительного и 20 см от отрицательного зарядов.

Дано:

q1 = +4,5 ×10−7 Кл, q2 = -9,0 ×10−7 Кл, a = 15 см = 0,15 м, r1 = 25 см = 0,25 м,

r2 = 20 см = 0,20 м, ε = 2,0 .

Найти: E , ϕ .

Решение. Неподвижные электрические заряды в пространстве вокруг себя создают электростатическое поле. Точечные заряды создают вокруг себя центрально-симметричные поля, напряженность и потенциал в некоторой точке которых определяются из соотношений [1.7], [3.6]:

где q0 – заряд, создающий поле, r – расстояние от точечного за-

ряда до рассматриваемой точки пространства, ε – диэлектрическая проницаемость среды (числовое значение берется из таблиц).

65

В случае, если поле в данной точке создается несколькими зарядами, то суммарная напряженность определяется из принципа суперпозиции (для поля двух зарядов) [1.8]:

где E1 и E2 – напряженности, создаваемые зарядами q1 и q2 со-

ответственно.

Потенциал точки поля определяется алгебраической суммой потенциалов, создаваемых отдельными зарядами [3.8]:

N (рис. 1.41). В точку A , положение которой определяется расстояниями r1 и r2 от соответствующих зарядов, поместим положительный пробный заряд и определим направления векторов напряженности E1 и E2 (одноименные заряды отталкиваются, разноименные – притягиваются). По правилу параллелограмма стро-

Рис. 1.41

На основании (1) модули напряженности поля точечных зарядов (знак был учтен при выборе направлений векторов) будут иметь вид:

66

Подставляя числовые значения, находим:

E = 7,78 ×10−4 В/м.

Потенциалы поля зарядов на основании (2) будут иметь вид:

Ответ: E = 7,78 ×10−4 В/м, ϕ = −12145 В.

67

Пример 4. Определить потенциал и напряженность электрического поля, создаваемого тонким диском радиуса r , равномерно заряженного с поверхностной плотностью заряда σ , в точке C , лежащей на оси диска на расстоянии b от его плоскости.

Дано:

r , σ , b .

Найти: ϕ , E .

Решение. Для определения потенциала электростатического поля в точке C разобьем диск на бесконечно большое число кольцевых зон с бесконечно малой толщиной dx (рис. 1.42).

Рис. 1.42

Выделим кольцо, ограниченное радиусами x и x + dx . Разобьем выделенное кольцо на бесконечно большое число точечных элементов. Каждый точечный элемент кольца с его зарядом нахо-

дится на одинаковом расстоянии l = x2 + b2 от точки C , поэтому вклад каждого заряженного элемента кольца в создание потенциала в точке C одинаков. Тогда, согласно принципу суперпозиции полей, потенциал в точке C , создаваемый выделенным кольцом, будет равен [3.6]:

68

Решение. Электростатическое поле, создаваемое сферической поверхностью, центрально-симметричное: направление вектора

напряженности E в любой точке проходит через центр сферы, а модуль вектора зависит только от расстояния r до центра сферы.

Нахождение напряженности поля заряда, который нельзя считать точечным, с использованием выражения, определяющего эту физическую величину, представляет собой трудоемкий процесс. Для симметричных заряженных тел использование теоремы Гаусса [2.3] значительно упрощает задачу.

Для расчета поля заряженной сферы в качестве замкнутой поверхности удобно взять концентрическую сферу. Пусть ее радиус r > R (рис. 1.43), тогда, согласно теореме Гаусса, поток вектора напряженности электростатического поля через замкнутую поверхность равен отношению заряда, охваченного выбранной поверхностью, к электрической постоянной e0 :

Рис. 1.43

Так как площадь поверхности сферы радиуса r равна 4pr 2 , то теорема Гаусса для условий задачи приобретает вид:

откуда искомая напряженность как функция расстояния от центра сферы (r > R) может быть выражена в виде:

70