127838-229237

Пример 21. На дифракционную решетку нормально к ее поверхности падает параллельный пучок света с длиной волны 600 нм. Помещенная вблизи решетки линза проецирует дифракционную картину на плоский экран, удаленный от линзы на 1,0 м. Расстояние между двумя максимумами интенсивности первого порядка, наблюдаемыми на экране, равно 20,2 см. Определить: постоянную дифракционной решетки; число штрихов на 1,0 см; число максимумов, которое дает дифракционная решетка; максимальный угол отклонения лучей, соответствующий последнему дифракционному максимуму.

Дано:

λ = 600 нм = 6,00 ×10−7 м, L = 1,00 м,

l= 20,2 см = 0,202 м,

m= 1.

Найти: d , n , N , jmax .

Решение. При наблюдении дифракции Фраунгофера экран, на котором наблюдают дифракционную картину, располагается в фокальной плоскости линзы, фокусное расстояние которой равно f

(рис. 2.55).

Рис. 2.55

271

Запишем условие главных максимумов дифракции [19.10]:

В виду малости углов дифракции sin j » tgj = l(2 f ). Тогда из со-

d = 2×1,00×6,00×10−7 = 4,95×10−6 м. 0,202

Число штрихов n на 1 см найдем из соотношения: n =1d .

После подстановки числовых значений имеем: n = 4,951×10−6

Для определения числа даваемых дифракционной решеткой максимумов необходимо рассчитать максимально возможный по-

рядок дифракции mmax (исходя из того, что sin j £1). Соотношение (1) в этом случае примет вид:

d = mmax l или mmax = dl .

Подставляя числовые значения, находим:

mmax = 4,95×10−6 = 9,9 . 6,00 ×10−7

Поскольку m принимает только целые значения, то следует принять mmax = 9 . Общее число максимумов, даваемых решеткой, будет равно:

N = 2mmax + 1 =19 .

Для нахождения угла отклонения, соответствующего последнему наблюдаемому дифракционному максимуму, соотношение

(1) запишем в виде:

d sin jmax = mmax l , откуда

272

Рис. 2.56

Как следует из рассмотренного, порядок дифракции при этом должен измениться на некоторую малую величину δm = 1/ N . Математически это достигается путем дифференцирования выраже-

ния (1):

На основании условия задачи можно заключить, что δϕ и

При наблюдении дифракции Фраунгофера экран, на котором наблюдают дифракционную картину, располагается в фокальной плоскости линзы (рис. 2.57). Поэтому положение некоторой точки x на оси, проведенной на экране параллельно плоскости решетки, можно определить, зная угол дифракции и фокусное расстояние линзы:

Расстояние δх между точками, расположенными в окрестности x , определим, продифференцировав равенство (4):

Рис. 2.57

Если j = j′ и dj = dj′ , то величина δх будет искомой шириной

спектральной линии. Принимая во внимание соотношение (4), запишем (5) в окончательном виде:

Определим период дифракционной решетки:

Подставляя числовые значения в равенство (6), получим:

Ответ: δх = 0,013 мм.

Пример 23. Пучок белого света падает нормально на дифракционную решетку шириной 1,2 см и периодом 4,0 мкм. Определить наибольший порядок спектра, который можно наблюдать при помощи этой решетки. Можно ли при помощи этой решетки наблюдать в первом порядке дифракции раздельно спектральные линии, имеющие длины волн 6000 Å и 6006 Å?

275

Дано:

L = 1,2 см =1,2 ×10−2 м,

d = 4,0 мкм = 4,0 ×10−6 м,

l1′ = 6000 Å = 6,000×10−7 м,

l′2 = 6006 Å = 6,006×10−7 м,

m′ = 1.

Найти: mmax .

Решение. При использовании немонохроматического излучения возможна ситуация, когда при работе в высоких порядках происходит наложение дифракционных максимумов соседних порядков. Это означает, что имеет место одинаковый угол дифракции для света, имеющего длину волны l1 в порядке m + 1, и света

с длиной волны l2 в порядке m ( l2 > l1 ). Записав условие максимумов дифракции [19.10] для обоих случаев, получим:

ком случае максимальный порядок спектра, который можно наблюдать при помощи дифракционной решетки без перекрывания, будет равен

Поскольку порядок дифракции является только целым числом, то следует принять mmax =1. Таким образом, при использовании белого света наблюдается без наложения только первый порядок

276

дифракции. Красный свет второго порядка дифракции будет частично перекрываться с синим для третьего.

Спектральный интервал, занимаемый исследуемым излучением dl¢ = l¢2 - l1¢ = 6,0 ×10−10 м = 6,0 Å, не должен превышать мини-

мальной величины разности длин волн δλ спектральных линий, которые решетка может разрешить. В этом случае максимумы соседних порядков от отдельных монохроматических компонент излучения не будут перекрываться.

Воспользуемся определением разрешающей способности ре-

При заданной ширине решетки L = Nd определим минимальную разность длин волн двух спектральных линий δλ , разрешаемых решеткой. Выражение (4) примет вид:

Подставляя числовые значения в (5) с учетом того, что m = m′ =1, получим:

dl = 6,00 ×10−7 4,0 ×10−6 = 2,0 ×10−10 м = 2,0 Å. 1,2 ×10−2

Поскольку dl′ = l′2 - l1′ > dl , то это означает, что спектральные линии с длинами волн l1′ = 6000 Å и l′2 = 6006 Å данной решеткой в первом порядке будут разрешены.

Ответ: mmax =1; линии будут разрешены.

Пример 24. Определите для дифракционной решетки, имеющей 1200 штрихов на один миллиметр и ширину 3,0 см, угловую дисперсию в спектре первого порядка; линейную дисперсию спектрографа, использующего данную решетку, в этом же порядке при объективе с фокусным расстоянием 50 см. Найти также наибольшую разрешающую способность решетки для длины волны

600 нм.

277

Дано:

N ′ =1200 мм-1,

f = 50 см = 0,50 м,

λ = 600 нм = 6,00×10−7 м, m = 1.

Найти: Dϕ , Dl , ldl .

Решение. Дифференцируя условие главных максимумов для дифракционной решетки [19.10], считая переменными ϕ и λ ,

Учитывая условие главных максимумов для дифракционной решетки [19.10], а также то, что период решетки равен d =1N , выражение для угловой дисперсии примет вид:

дисперсию определим, исходя из значения ее угловой дисперсии, пользуясь приближенным соотношением [20.4]:

Dl » fDϕ .

Используя числовое значение угловой дисперсии, получим:

Dl = 0,50×1730 = 8,65×105 .

В соответствии с определением величина линейной дисперсии является безразмерной, но обычно ее выражают в миллиметрах на

278

один нанометр. Поэтому результат может быть записан следующим образом:

Dl = 0,865 мм/нм.

По определению разрешающая способность решетки [20.8] равна

dll = mN .

Число штрихов решетки определим из соотношения:

N = lN ′ = 36000 .

Наибольшая разрешающая способность будет наблюдаться для максимального порядка дифракции, который определим из условия (см. пример 21):

Значит, максимальным наблюдаемым будет порядок mmax =1. По-

этому, максимальная разрешающая способность для решетки будет равна:

Ответ: Dϕ =1730 рад/мм, Dl = 0,865 мм/нм,

(ldl)max = 36000 .

Пример 25. Призма с преломляющим углом 60o изготовлена из стекла с показателем преломления 1,46. Рассчитать угол, на который будут разведены две желтые линии натрия с длинами волн 5890 Å и 5896 Ǻ. Дисперсия вещества призмы в этом диапазоне длин волн составляет 1150 см-1.

Дано:

A = 60o , n = 1,46 ,

l1 = 5890 Å,

l2 = 5896 Å,

279

ddnl =1150 см-1.

При использовании немонохроматического излучения вследствие явления дисперсии показатель преломления для различных длин волн будет несколько различен. Это будет приводить к различию углов отклонения волн. Продифференцировав выражение

Воспользовавшись известным тригонометрическим соотношением cos a = 1 - sin 2 a , выражение (2) можно записать в виде:

При заданном условии задачи ddle » DDle , поэтому, заменяя в выра-

жении (3) бесконечно малые приращения величин ε и λ их конечными значениями, получим окончательно: