127838-229237

где F – вектор равнодействующей всех сил, приложенных к частице, p – релятивистский импульс.

Так как электрон влетает перпендикулярно линиям магнитной индукции, то он будет двигаться по окружности вокруг одной из линий под действием лишь одной силы – магнитной составляющей силы Лоренца FЛ . Эта сила в процессе движения всегда пер-

пендикулярна вектору скорости, поэтому модуль скорости изменяться не будет, а, значит, не будет со временем изменяться и масса. Уравнение динамики (7) независимо от того, классической или релятивистской является частица, может быть записано аналогично классическому второму закону Ньютона:

нитной индукции, то магнитная составляющая силы Лоренца

[9.16] равна:

Учитывая соотношение (3), выражение (11) запишется в виде:

91

Подставляя числовые значения в (12), находим:

Ответ: B = 0,070 Тл.

Пример 17. Два иона, имеющие одинаковый заряд, но различные массы, влетели в однородное магнитное поле. Первый ион начал двигаться по окружности радиусом 5,0 см, второй – по окружности радиусом 2,5 см. Найти отношение масс ионов, если они прошли одинаковую ускоряющую разность потенциалов.

Дано:

R1 = 5,0 см = 0,050 м, R2 = 2,5 см = 0,025 м.

Найти: m1 . m2

Решение. Пройдя ускоряющую разность потенциалов U , первый ион массой m1 приобрел скорость u1 , а второй массой

m2 – скорость u2 . В условиях данной задачи работа, совершаемая

электрическим полем, идет на изменение кинетической энергии заряженной частицы. Считая начальную скорость ионов равной нулю, скорость каждого иона в момент попадания в магнитное

где работа A поля по перемещению заряда q определяется из соотношения [3.7]:

92

Подставляя в полученное выражение (10) соотношения (5), получим искомое отношение масс ионов:

Ответ: m1 = 4,0 . m2

Пример 18. Двухпроводная линия состоит из двух параллельно расположенных проводов с радиусом поперечного сечения 10 см (рис. 1.48). Расстояние между осями проводов составляет 50 см. Определить индуктивность единицы длины такой системы (рассматривать магнитное поле только между проводниками).

Дано:

d = 50 см = 0,50 м, r = 10 см = 0,10 м.

Найти: L′ .

Решение. Для нахождения индуктивности единицы длины двухпроводной линии первоначально необходимо определить магнитный поток через площадь, ограниченную осями проводов, для отрезка длиной l . Считаем, что система находится в вакууме, тогда магнитная проницаемость среды μ =1,0 .

Магнитная индукция, созданная первым проводником с током

а созданная вторым проводником с током на расстоянии d − x от него, равна:

нитного поля, α – угол между направлениями векторов pm и B . По определению магнитный момент контура с током равен

Так как контур представляет собой окружность, то площадь,

свободно установился в магнитном поле, следовательно, момент внешних сил равен нулю, а, значит, векторы pm и B совпадают по направлению (то есть α0 = 0 ).

При действии внешних сил виток выходит из положения равновесия, при этом возникает момент сил, определяемый выражением (1), который будет стремиться возвратить контур в исходное положение. При повороте витка внешние силы совершают работу против этого момента. Так как момент сил переменный, то для нахождения работы необходимо воспользоваться определением работы вращающего момента в дифференциальной форме:

Интегрирование выражения (6) позволяет найти работу при повороте витка на конечный угол:

Работа, совершаемая внешними силами при повороте на угол

90o , вычисляется путем интегрирования (7) с подстановкой соответствующих границ интегрирования:

97

Подставляя числовые значения величин в выражение (8), найдем:

A¢ = 3,14 ×15 ×1,5 × 0,0402 = 0,11Дж.

Ответ: A′ = 0,11Дж.

Пример 20. По горизонтальным рельсам, расположенным в вертикальном однородном магнитном поле с индукцией 0,010 Тл, скользит проводник длиной 1,0 м с постоянной скоростью 10 м/с (рис. 1.49). Концы рельсов замкнуты резистором сопротивлением 2,0 Ом. Пренебрегая сопротивлением рельсов и проводника, определить количество теплоты, которое выделяется в резисторе за 4,0 с.

Дано:

B= 0,010 Тл, l = 1,0 м,

υ= 10 м/с,

R= 2,0 Ом,

t = 4,0 с.

Найти: Q .

Решение. Площадь замкнутого контура, образованного резистором, рельсами и движущимся проводником, изменяется. Изменяется и магнитный поток, пронизывающий этот контур, и в нем возникает ЭДС индукции.

Согласно закону Фарадея [10.1] ЭДС индукции равна:

дукции B и нормалью к площади рамки n . Закон (1) с учетом (2) примет вид:

98

Величина dxdt = υ – скорость движения проводника. Поэтому

окончательно получим:

Ei = −Blυ . (6)

Под действием возникшей постоянной ЭДС в контуре будет течь постоянный ток. Количество теплоты Q , которое выделится

в резисторе за время t , можно определить по закону Джоуля-

Ленца [7.1]:

2

Q = Ei t . (7)

R

Подставляя ранее найденное выражение для ЭДС в (7), получим:

99

Q = B2l2u2 t . R

Учитывая числовые значения величин, получим:

Q = 0,0102 ×1,02 ×102 4,0 = 0,020 Дж. 2,0

Ответ: Q = 20 мДж.

Пример 21. Определить индуктивность тороида (рис. 1.50), энергию магнитного поля в его стальном сердечнике, если по обмотке течет ток силой 0,50 А. Витки провода обмотки диаметром 0,40 мм с тонкой изоляцией плотно прилегают друг к другу. Площадь сечения сердечника составляет 3,0 см2, а диаметр средней линии тороида – 0,40 м. Сердечник до пропускания тока ненамагничен.

Дано:

I = 0,50 А,

S = 3,0 см2 = 3,0 ×10−4 м2,

d = 0,40 мм = 0,40 ×10−3 м, D = 0,40 м.

Найти: L , W .

Решение. Сравнивая значения диаметра средней линии тороида с диаметром сечения сердечника ( Dc ), приходим к выводу,

что в условиях данной задачи ( Dc << D ) для расчета индуктивно-

сти тороида можно воспользоваться выражением для расчета индуктивности длинного соленоида [10.8], который согнут в кольцо:

(1)

где m0 – магнитная постоянная, μ – магнитная проницаемость