37. Теорема Чебышева и Бернулли.

Теорема Чебышева. Если последовательность независимых случайных величин с математическими ожиданиями и дисперсиями , ограниченными одной и той же постоянной, то какова бы ни была постоянная

.

При доказательстве предельного равенства используется неравенство

,

которое вытекает из неравенства Чебышева.

Теорема Бернулли. При неограниченном увеличении числа независимых опытов частость появления некоторого событияА сходится по вероятности к его вероятности р = Р(А): , где— сколь угодно малое положительное число.

При доказательстве теоремы Бернулли получаем такую оценку , которая применяется на практике.

23.Асимметрия и эксцесс.

Вычисление асимметрии и эксцесса позволяет установить симметричность распределения случайной величины Х относительно M(X)=1  Для этого находят третий центральный момент, характеризующий асимметрию закона распределения случайной величины. Если он равен нулю µ₃=0 , то случайная величина x симметрично распределена относительно математического ожидания M(X) Поскольку µ₃  имеет размерность случайной величины в кубе, то вводят безразмерную величину — коэффициент асимметрии:

Центральный момент четвертого порядка используется для определения эксцесса, характеризует вершину плотности вероятности F(x) Эксцесс вычисляется по формуле

Число 3 вычитается для сравнения отклонения от центрального закона распределения (нормального закона), для которого подтверждается равенство:

25.Биномиальный закон распределения.

Биномиальное распределение

Пусть имеется n испытаний Бернулли с вероятностью успеха p и вероятностью неуспеха q, p+q=1. Дискретная случайная величина Х – число успехов имеет распределение

P_k = P(Х = K)=C_n^k p^kq^n-k, k=0,1……,n.

Это распределение называется биномиальным с параметрами p и q

Математическое ожидание и дисперсия случайной велчины

MX = np, DX = npq.

26.Функции случайных величин.

Случайной величиной называется функция Х на пространстве событий Ω такая, что для всякого числа х подмножество (Х< х) является событием.

Функцией распределения случайной величины Х называется функция у=F(x), значение которой определяются формулой

F(x)=P(Х< х)

Где P(Х< х) – вероятность событий (Х< х)

Для дискретной случайной величины Х с законом распределения P(Х< х_k)=p_k ,k=1,2,…..,функция распределения имеет вид

Графиком функции распределения дискретной случайной величины является график кусочно-постоянной функции. Скачки функции F(x) в точке разрыва х=х_k равны P_K=p(x = X_k).

Функцией распределения непрерывной случайной величины

P(a < X <b) = F (b) – F(a)

Из этого следует что вероятность каждого конкретного значения непрерывной случайной величины равна нулю.

33. Многомерные случайные величины.

Многомерной случайной величиной наз. величина, которая при проведении опыта принимает в качестве своего значения не число, а целый набор чисел, заранее не известно каких. Эти наборы, которые случайная величина может принять, образуют множество ее возможных значений. Таким образом, хотя конкретный набор не предугадаешь, он будет из множества возможных наборов (часто это множество хорошо известно).

Понятие многомерной случайной величины аналогично таким понятиям, как система случайных величин или многомерный случайный вектор. Каждое элементарное событие может рассматриваться, как результат сложного испытания, состоящего в измерении всех величин и интерпретироваться, как точка – мерного пространства () или, как вектор . Каждая из величин является одномерной случайной величиной и называется составляющей (компонентой). Если говорят, что – случайный вектор (или – мерная случайная величина), то величины называют его случайными координатами. Аналогично одномерным случайным величинам различают дискретные многомерные случайные величины (их составляющие дискретны) и непрерывные многомерные случайные величины, которые устроены более сложно (их составляющие непрерывны).