14. Локальной и интегральной формуле Муавра – Лапласа

Локальная теорема Муавра-Лапласа.

Вычисление вероятности по формуле Бернулли становится затруднительным при больших, поскольку. Поэтому на практике применяют приближенные формулы. Одна из них формула Муавра-Лапласа.

где

Функция - четная:; достигает максимумав точке. При этомбыстро стремится к нулю с увеличением абсолютной величины:

Интегральная формула Муавра-Лапласа.

Если нас интересует вероятность того, что в серии из испытаний событиепоявится не менееи не болеераз, то

где

Здесь - функция Лапласа. Функциянечетная. При возрастанииот 0 дофункциябыстро возрастает почти до 0,5.,. Можно считатьпри всех.

3 Частота и вероятность

Вероятностью события A называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех единственно возможных и равновозможных исходов испытания.

Относительной частотой события называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось к общему числу фактически произведенных испытаний.

Вероятность вычисляют до опыта, а относительную частоту — после.

В различных опытах относительная частота изменяется мало (тем меньше, чем больше произвели испытаний) и колеблется возле некоторого постоянного числа — вероятности.

35. Корреляционный момент и коэфф.Корреляции.

Корреляционным моментом случайных величин X и Y называют математическое ожидание произведения их отклонений.

Для дискретных величин

Для непрерывных величин

Теорема. Корреляционный момент двух независимых случайных величин равен 0

Коэффициентом корреляции независимых случайных величин X и Y называют отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин.

34 Зависимые и независимые случайные величина.

Случайные события называются независимыми, если появление одного из них никак не влияет на вероятность появления других событий.

Для независимых событий справедлива теорема умножения вероятностей: вероятность совместного (одновременного) появления нескольких независимых случайных событий равна произведению их вероятностей:

Р(А₁и А₂ и А₃ … и А_k) = Р(А₁) ∙Р(А₂) ∙…∙Р(А_k). (7)

Совместное (одновременное) появление событий означает, что происходят события и А₁, и А_{2 ,}и А₃ … и А_k .

Случайные события А и В называются зависимыми, если появление одного из них, например, А изменяет вероятность появления другого события – В. Поэтому для зависимых событий используются два значения вероятности: безусловная и условная вероятности.

Если А и В зависимые события, то вероятность наступления события В первым (т.е. до события А) называется безусловной вероятностью этого события и обозначается Р(В). Вероятность наступления события В при условии, что событие А уже произошло, называется условной вероятностью события В и обозначается Р(В/А) или Р_А (В).

Аналогичный смысл имеют безусловная – Р(А) и условная – Р(А/В) вероятности для события А.

Теорема умножения вероятностей для двух зависимых событий: вероятность одновременного наступления двух зависимых событий А и В равна произведению безусловной вероятности первого события на условную вероятность второго:

Р(А и В) = Р(А) ∙Р(В/А) , если первым наступает событие А, или

Р(А и В) = Р(В) ∙Р(А/В), если первым наступает событие В.