7. Условная вероятность.

В ряде случаев приходится рассматривать вероятности событий при дополнительном условии, что произошло некоторое другое событие, имеющее вероятность, отличную от нуля. Такие вероятности называются условными вероятностями.

Вероятность события В при условии, что произошло событие А, называется условной вероятностью события В и обозначается так: Р (В/А), или Р_А(В).

Например, пусть А – событие, состоящее в извлечении белого шара из урны, содержащей n шаров, в том числе mбелых, n – mчерных; В – событие, состоящее в извлечении белого шара из той же урны после того, как из нее уже извлечен один шар. Очевидно, если первый извлечённый шар был белым, т.е. если произошло событие А, то в урне после первого извлечения останется m – 1 белых иn-mчерных шаров, поэтому вероятность события В будет равнаm-1/n-1. Если же первый извлеченный шар был черным (произошло событие А), то в урне останется mбелых и n-m-1 черных шаров; искомая вероятность окажется равной m/n-1. Следовательно, вероятность события В меняется в зависимости от того, происходит или не происходит событие А, т.е. вероятность события В может принимать два различных значения m-1/n-1, m/n-1.

Таким образом, Р(В/А)=m-1 /n-1, P(B/A)= m/n-1.

В случае классического определения условные вероятности вычисляются аналогично тому, как вычисляются безусловные вероятности. Пусть среди полной группы элементарных исходов А₁, А₂, …, А_n событию А благоприятствуют m исходов, событию В – kисходов, событию АВ –lисходов (l<=m, l<=k). если событие В произошло, то это означает, что наступило одно из событий A_i, благоприятствующих В, при этомl и только l событийA_i, благоприятствующих АВ, поэтому

Р(А/В) = l/k = l/n / k/n = P(AB)/P(B),

P(B/A) = l/m = l/n / m/n = P(AB) / P(A).

Итак, получены следующие формулы:

Р(А/В)=Р(АВ)/Р(В), Р(В/А)= Р(АВ)/Р(А).

При аксиоматическом введении понятия вероятности условные вероятности определяются соответственно формулами:Р(В/А)=Р(АВ)/Р(А), Р(А/В) = Р(АВ)/Р(В).

8. Независимость событий.

Введем понятие независимости одного события от другого. Событие В не зависит от события А, если Р(В/А) = Р(В),

Т.е. вероятность события В не зависит от того, произошло ли событие А.

Из формул Р(АВ)=Р(А)Р(В/А), Р(АВ)= Р(В)Р(А/В) следует, что Р(А)Р(В/А) = Р(В)Р(А/В). Учитывая Р(В/А) = Р(В), получаем Р(А)Р(В) = Р(В)Р(А/В). Отсюда следует, что Р(А/В)=Р(А), так как Р(В) ≠ 0. Это равенство означает, что событие А не зависит от события В.

Таким образом, свойство независимости событий является взаимным.

Если событие А и В независимы, то независимы также события Ā и В, А и , Ā и. Докажем независимость событий Ā и В. События А / В и Ā / В противоположны, поэтому Р(А/В) + Р(Ā/В)=1. Поскольку события А и В независимы, т.е. Р(А/В) = Р(А) и Р(В/А) = Р(В), тоР(А) + Р(Ā/В) = 1,

Р(Ā/В) = 1 – Р(А)= Р(Ā), Р(Ā/В) = Р(Ā).

Последнее равенство означает, что Ā не зависит от В. Но в этом случае и В не зависит от Ā, т.е. Ā и независимы.

9. Формулы полной вероятности и Байеса.

Пусть А – произвольное событие, события Н₁, Н₂, …Н_nпопарно – несовместимы и А содержит Н₁ + Н₂, + …+ Н_n. Вероятности событий Н_i (I = 1,2,…, n) известны, причем Р(Н_i) не равно 0; известны также условные вероятности Р(А/Н_i). Требуется найти вероятность события А.

Событие А можно представить в виде суммы попарно-несовместных событий А=Н₁А+ Н₂А+…+Н_nA. На основании следствия из аксиомы Р(А₁+А₂+…+А_n) = P(A₁)+P(A₂)+…+P(A_n) имеем

Р(А) = Р(Н₁А)+Р(Н₂А)+…+Р(Н_nA).

Применяя теорему умножения вероятностей Р(АВ)=Р(А)Р(В/А), Р(АВ)=Р(В)Р(А/В) находим

Р(Н₁А)=Р(Н₁)Р(А/Н₁),

Р(Н₂А) = Р(Н₂)Р(А/Н₂), …Р(Н_nА)=Р(Н_n)Р(А/Н_n).

Подставив эти выражения в предыдущее равенство, получим

Р(А) = Р(Н₁)Р(А/Н₁)+Р(Н₂)Р(А/Н₂) +…+Р(Н_n)Р(А/Н_n) – эта формула называется формулой полной вероятности.

Пусть Н₁,Н₂,…Н_n – попарно-несовместные события, вероятности которых Р(Н_і) не равны 0 (і = 1,2,…n), и событие А содержит Н₁ + Н₂ +…+Н_п, для которого известны условные вероятности Р(А/Н_і) (і= 1,2,…п). произведем опыт, в результате которого появилось событие А. нужно найти условные вероятности событий Н₁,Н_2,… Н_П относительно событий А.

Применяя теорему умножения вероятностей Р(АВ)=Р(А)Р(В/А), Р(АВ)=Р(В)Р(А/В) получаем

Р(АН_k) = Р(А)Р(Н_k /A) = P(H_k)P(A/H_k),

ОткудаР(Н_k/A)= P(H_k)P(A/H_k)/P(A).

Подставим сюда выражение для Р(А) из формулы полной вероятности Р(А)= Р(Н₁)Р(А/Н₁)+Р(Н₂)Р(А/Н₂)+…+Р(Н_n)Р(А/Н_n), получим

P(H_k)/A = P(H_k)P(A/H_k)/суммуP(H_i)P(A/H_i) ,k = (1,2,…n).

Эти формулы называют формулами Байеса.