1Первообразная ф-ция и неопределенный интеграл. Основная теорема интегрирования. Функция F(x) наз-ся первообразной ф-ции f(x) на определенном интервале, если F '(x)=f(x) или dF(x)=f(x)dx.

Неопр. Интеграл- совокупность всех первообр. для f(x), определенная на интервале Х(∫f(x)dx=F(x)+c Основная теорема интегрирования: Если ф-ция f(x), определенная на интервале x , имеет 1 первообразную F(x), то она имеет бесконечное число первообразных, все они описываются выр-ем F(x)+c, где c-const. Док-во: По опр-ю F'(x)=f(x),  (F(x)+c)'=F'(x)+(c)'=f(x). Докажем, что F(x)+c описывает все первообразные ф-ции f(x) Возьмем F₁(x)- первообразная .Докажем, что F₁(x)-F(x)=r(x)-есть константа.

r '(x)= (F₁(x)-F(x))'=F₁'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0

Обозначим F1(x)-F(x)=r(xf(x)dx=F(x)+c.Пусть x1 и  x2 принадлежат X. Применим ф-лу Лагранжа Пусть x1 <  x2, тогда r(x2)-r(x1)=r'(_x־)(x2 - x1), где r'(_x־)(x2 - x1)=0, x1< _x־<x2, r(x2)-r(x1)=0, значит r(x2)=r(x1). Т.к. для разных значений Х ф-ция r(x) принимает равные значения, то ф-ия постоянна

4.Интегрирование медотом разложения.

Метод почленного интегрир-ия(разложения) заключается в разложении подынтегральной ф-ии на сумму функций и в почленном интегрир-и этой суммы, используя св-во 3 неопред-го интегр.. Примен-ся в тех случаях, когда инт-лы от отдельных ф-ий вычисляются проще, чем от суммы в целом.

5.Интегрирование путем замены.

Метод заключается в преобр-ии аргумента подынтегр-ой ф-ии по некоторой фор-ле, рассчитанной на то, чтобы интеграл в новой переменной оказался проще для вычисления.

X=φ(t), d(x)=φ΄(t)dt, ∫f(φ(t))φ΄(t)dt.

6.Интегрирование по частям.

uv=

Пример.[u=x,du=dx,dv=sinxdx,v=-cosx]=-xcosx+=-xcosx+sinx

Метод интегрир-я по частям не каждый раз и не при всяком выборе из множителей u и dv дает возможность вычислить заданный интеграл. Умение увидеть целесообр-сть применения этого метода вырабатывается в практике интегрир-я.

7.Интегрирование простейших рациональных дробей.

Здесь имеются ввиду след. дроби: *Р(х)/(ах+b); **P(x)/(ax²+bx+c), где Р(х) – целая рациональная ф-ия(многочлен). Если выделим целые части, то получим: А/(ах+b) (*΄ ); (mx+n)/(ax²+bx+c) (**΄ ). Если рассм-ть интегралы от ф-ий (*΄ ) и (**΄ ), то получим: (*΄ ) ∫A/ (ах+b) dx=A∫dx/(ax+b)=A∙1/a∫d(ax+b)/(ax+b)= =A/a∙ln│ax+b│+c. (**΄ ) ∫ (mx+n)/(ax²+bx+c) dx – сводится к двум интегралам. К интегралу 1-го типа: 1.∫du/(u²+a²)=1/a∙arctg u/a + c; 2.∫du/(u²-a²)=1/2a∙ln│(u-a)/(u+a)│+ c. К интегралу 2-го типа: ∫udu/(u²±a²)= =1/2∙ln│u²±a²│+ c.

8.Интегрирование простейших иррациональных выражений.

1.∫dx/(ax²+bx+c)^1/2; 2. ∫(mx+n)/(ax²+bx+c)^1/2; 3. ∫(ax²+bx+c)^1/2dx

Второй интеграл сводится к вычислению ∫(dt+b)/(t²+γ)^1/2dt ∫(dt+b)/(c²-t²)^1/2dt. Эти интегралы вычисляются методом почленного интегрирования, приводя каждый к двум табличным интегралам.

9. Разложение рациональных дробей на сумму элементарных дробей.

Рац.дробью назыв-т частное двух рац.функций, т.е. многочленов одного и того же аргумента х.

Q(x)/P(x)=(b₀x^m+b₁x ^m-1+…+b_m)/( a₀xⁿ+a₁x ^n-1+…+a_n) – (1), где а_i i=0,n; b_j j=0,m.

Рац.дробь (1) наз-ся правильной, если m<n. При m≥n дробь (1) наз-ся неправильной.

Будем считать, что дробь (1) – правильная. Разложим многочлен Р(х) в произведение. Как известно из алгебры всякий многочлен имеет хотя бы один корень – действительный или мнимый (по теореме Гаусса). Обозначим этот корень через к_1. Тогда по теореме Безу Р(х) будет делиться на разность (х-к₁ ) без остатка. Тогда многочлен Р(х) можно представить: Р(х)=(х-к₁)*Р₁(х).

Применим теорему Гаусса и Безу к многочлену Р₁(х): Р₁(х)=(х-к₂)* Р₂(х) и т.д.

Продолжая этот процесс последовательно, получим: Р₂(х)=(х-к₃)* Р₃(х), Р_n-1(х)=(х-к_n)* Р_n(х) –(2). Степень многочлена Р_n(х)=n-n=0. Р_n(х)=а₀ .

Используя полученные равенства получим: Р(х)=(х-к₁)(х-к₂)*…* (х-к_n)х_0. –(3).

Разложение (3) показывает, что числа к_1, к_2, …, к_n (и только эти числа) явл-ся корнями многочлена Р(х). Следовательно Р(х) не может иметь больше, чем n корней.

Если объединить множители, соответствующие повторяющимся корням, то разложение (3) будеи иметь вид: Р(х)=(х-к₁)^m1, (х-к₂)^m2 , ..., (х-к_L)^ml -(4), где к_1, к_2, к_l (L<=m) попарно различные корни многочлена Р(х).

Число к наз-ся m-кратным корнем многочлена Р(х), если Р(х) делится без остатка на (х-к)^m, но не делится на (х-к)ⁿ , при условии m<n.

Теорема: Комплексные корни всякого многочлена с действит.коэф-ми встречаются только сопряжёнными парами, причём сопряжённые корни имеют одинаковую кратность.

Общий вид комплексного числа:

z=α+iβ, где α– действит.часть комплексного числа, β – мнимая часть комплексного числа. i=√-1, i=-1.

Если z – сопряжённое число, то z¯= α-iβ – ему сопряжённое.

Р(х)=(х-к₁)^m1 (х-к₂) ^m2*…* (х- к_L)^mL* (х- к₁)^μ1*…*(х- к_s)^μs

Если к₁=α+iβ, к¯₁=α-iβ.

(х-к₁)^μ(х-к¯₁)^μ=((х-к₁) (х-к¯₁))^μ=((х- α-iβ)(х-α+iβ))^μ=((х-α)²-(iβ)²)^μ =((х-α)²+β²)^μ=(х²-2αх+ α²+β²)^μ=(х²-bx+c)^μ

(х-к₁)^m1(х-к₁)^m2 …(х-к_L)^mL(х²+b₁x+c₁)^μ1(х²+b_sx+c_s)^μs

Тогда Q(x)/P(x) разложится на сумму элементарных дробей:

Q(x)/P(x)=[A₁/(х-к₁)^m1 + A₂/(х-к₁)^m1-1 +…+ A _m1/(х-к₁)]+[B₁/(х-к_L)^mL +…+ B_mL/(х-к_L)]+[(c₁x+D₁)/(x²+b₁x+c₁)^μ1+…+(c_μ1x+D_μ1)/(x²+b₁x+c₁)]+[(N₁x+F₁)/(x²+b_sx+c_s)^μs+…+(N_μsx+F_μs)/(x²+b_sx+c_s)].