25. Определение предела функции двух переменных, его геометр. Смысл

Рассмотрим множ-во точек М(х,у) координаты которых удовл. нерав-ву

((х-х₀)²+(у-у₀)²)^½≤ε

Множ-во точек назыв.окресностью точки М₀(х₀,у₀)

Пусть ф-ция Z=f(x,y) определена в некоторой окр-ти М₀(х₀,у₀), число А-предел ф-ии Z при хх_0,уу₀. Если для любой δ>0 сущ-т ε>0,такое,что для всех х≠х₀,у≠ у₀ и удовл. нерав-ву ((х-х₀)²+(у-у₀)²)^½≤ε, выполн. нерав-во | f(x,y)-А|<δ

А=lim f(x,y)= lim f(x,y)

При хх_0,уу₀ при М М₀

Если lim сущ-т, то он не зависит от пути по которому М М₀

Геом.смысл ф-ии 2-х перемен. : каково бы ни было δ>0 найдется ε-окресность точки М₀(х₀,у₀) такая что во всех точках окр-ти М(x,y) ε отличных от М₀ апликаты соотв. Точек поверхности Z=f(x,y) отличается от числа А по модулю< δ

| Z -А|<δ. Предел ф-ии 2-х перемен. облад. аналогичными св-ми как и предел ф-ии 1-й перем.

26. Непрерывность ф-ии 2-х переменных, точки разрыва

Ф-ия Z=f(x,y) назыв. непрерывной в точке М₀(х₀,у₀) если:

1. Ф-ия определена в этой точке и некот. Ее окр-ти

2. имеет предел lim f(x,y) при М М₀

3. этот предел равен значению ф-ии Z в точке М₀

lim f(x,y)= f(х₀,у₀)= f (М₀)

М М₀

Ф-ия непрерыв. в каждой точке некот.обл-ти назыв. непрерывной в этой обл-ти.

Точки в которых непрерывность нарушается назыв. точками разрыва этой ф-ии.Т. разрыва могут образовывать целые линии разрыва.

∆х=х- х_0,∆у= у-у₀, ∆ Z= f(x,y)- f(х₀,у₀)

Величины ∆х, ∆у- приращение аргумента ,∆ Z-полное приращ.ф-ии.в точке М₀(х₀,у₀)

Ф-ия Z назыв. непрерывной в т. М₀(х₀,у₀) D если выполн. рав-во lim∆ Z=0 при ∆х0_,∆у0

Если полное приращение ф-ии в точке у0, при усл. что приращение аргумента у0

27. Понятие частной производной ф-и 2-х переменных, ее геом. Смысл.

z=f(x,y)

Дадим приращение переменной x=Δx, сохраняя y неизменным, тогла z получит приращение, кот. наз. частным приращением ф-и по x.

ΔxZ= f (x+Δx,y)- f(x,y)

Аналогично по y:

ΔyZ= f(x,y+Δy)- f(x,y)

Полное приращение ф-и z опред-ся равенством:

Δz= f(Δx+x,Δy+y)-f(x,y)

Если сущ-ет предел ΔxZ/ΔX, то его наз. частной производной ф-и z по x.

ΔxZ/ΔX=Z'x

Аналогично по Y.

Т.обр., частная производная ф-и неск. переменных опр-ся как производная одной ф-и из этих переменных , при условии, что другие const.

Геом. смысл частной производной z=f(x,y) имеет график поверхности. z=f(x,y0)график ф-и – линия пересечения.

Исходя из геом. смысла производной из ф-и одной переем. получаем ,что f_x΄(x_0,y₀)=tgφ, где φ –угол между осью ох и касательной, проведенной к кривой f(x,y) в т. _Мо(x_o,y_o;f(x_o;y_o))

28. Нахождение частных производных высших порядков. Теорема Шварца

Частные производные иназ. частными произв-ми 1-го порядка. производные от производных (частных) наз. производными 2-го порядка: = z^'_x; ()==z^''_xx=f^''_x²(x,y)

()==z^''_xy=f^''_xy(x,y) ()==z^''_yy=f''_y²(x,y)

Справедливо z^''_xy=z^''_yx

Аналогично определяются частные производные 2-го и 3-го порядка. Частная производная 2-го и более порядка, взятая по разл. переменным, наз. смешанной частной производной.

Теорема Шварца: Если ч. произв. высшего порядка непрерывны, то смешанные производные одного порядка, отличающиеся только порядком диф-ния, равны между собой: z=f(x,y), имеем =.

Пример: z=x²y³; z^'_x=2y³x; z^'_y=3x²y²; z^''_xx=2y³; z^''_xy=6y²x. Для нахождения производной z^'_x(x,y) надо считать постоянной переменную y, а для z^'_y(x,y)-переменную x.