42.Дифференциальные ур-я высших порядков.

Дифференциальное ур-е n-го порядка наз-ся линейным если оно явл-ся ур-м 1-ой степени относительно искомой ф-ии y и ее произв. y'...y"имеет вид

aoyⁿ+ay в степени(n-1) +any=f(x)

ao,a-const, а так же ф-я f(x)- заданная ф-я.

Будем пологать, что ф-и ao-an,и f(x) непрерывны для всех значений x,ao=1

Ф-я f(x) стоящ. В правой части ур-я наз.правой частью ур-я если f(x)≠0, ур-е наз.линейным не однородным или ур-ем с правой частью, если f(x)=0 наз.линейным однородным или ур-ем без правой части:

a_o*yⁿ+a₁*y^(n-1)+…+a_n*y=0

43 Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка. Их свойства.

Дифференциалом 2-го порядка называется дифференциал от дифференциала 1-го порядка.

Рассмотрим некоторые св-ва линейных однородных дифф. ур-ий 2-го порядка.

1: Если у₁ и у₂ частныя решения ЛОДУ- 2

у″ + а₁у′+ а₂=0, то у₁ и у₂

также являются решением уравнения у″+ а₁у′+ а₂=0.(*)

2:Если у₁ -частное решение уравнения у″ + а₁у′+ а₂=0, а С – const, то С* у₁ тоже будет решением ур – ия у″ + а₁у′+ а₂=0.

Два решения у₁ и у₂ уравнения у″ + а₁у′+ а₂=0 наз. Линейными независимыми на отрезке [a,b], если отношение в этом отр. не явл. постоянным y₂\y₁ ≠ const

В противном случае решении * наз. зависимым, если два решения у₁ и у₂ зависимы на отрезке [a,b]. у₂ \y₁ = λ, у₂ = λ у₁

3.Если ф-ии у₁ и у₂ линейно зависимы на [a,b], то определитель Вронского на этом отр. тождественно =0

4. Если опр. Вронского от у₁ и у₂ составлены для решений у₁ и у₂ ур-ния * ≠0 при любом Х=Х₀ из [a,b], где коэффициенты ур-ний непрерывны, то он не превращается в 0 для любого Х из [a,b]

5. : Если у₁ и у₂ решение ур-ния *, к-ые линейно независимы на отрезке, то опр. Вронского составленный для этого отр., не превращается в 0 ни для одной точки из этого отр.

6. Если у₁ и у₂ решение ур-ния *, к-ые линейно независимы на отрезке, то у=с₁*у₁+с₂*у₂, где с₁ и с₂ –const, есть общее решение ур-ния *

44.Решение лоду 2-го порядка с постоянными коэффициентами

Ур-е вида y''+py'+q=0, (1) наз-ся линейным одородным ур-м 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Будем искать реш-е ур-я (1) в виде y=e^λx (λ=const). Поскольку y'=λe^λx, y’’=λ²e^λx, то , подставляя выражения для y,y' и y'' в ур-е (1) получаем : e^λx(λ²+pλ+q)=0, т.к. e^λx><0, то λ²+pλ+q=0 (2)

Следовательно, e^λx будет решением ДУ(1), если λ- корень квадр.ур-я (2). Ур-е (2) наз-ся характерным для ур-я (1).

Возможны 3 случая:

1.корни характ. ур-я λ₁ и λ₂ действит. и различны λ₁<>λ₂, тогда ф-и y₁=e^λ1x и y₂=e^λ2x , будут решениями у-я (1). Т.к определитель Вронского этих ф-й :

W(y₁, y₂₎= =(λ₂-λ₁)e^(λ1+λ2)x

При λ_1<>λ₂ отличен от 0 для любого Xc R, реш-я y₁=e^λ1x и y₂=e^λ2x линейно независимы, и , сл-но, общее реш-е ур-я (1) в этом случае имеет вид y=C₁e^λ1x+C₂e^λ2x.

2) λ₁ и λ₂ – действит-е и равные: λ₁₌ λ₂

Тогда y₁=e^λ1x – частное реш-е у-я (1). Покажем, что в этом случаеф-я y₂=xe^λ1x также явл-ся реш-м ур-я (1). Тк y₂’=e^λ1x(1+λ₁X), а y_2’’=λ₁e ^λ1x(2+ λ₁X), то, подставляя y₂, y_2’, y_2’’, в левую часть у-я(1) , и , учитывая , что λ_1-двухкратный корень ур-я , получаем :

xe^λ1x(λ²₁+pλ₁+q) +(2 λ₁+p)=0

Последн. равенство справедливо , т.к выражено λ²₁+Pλ₁+q и 2λ₁+p равны 0. Первое рав-во очевидно. Для док-ва второго рав-ва левая часть характ. Ур-я (2) запишем в виде

λ²+pλ+q=(λ-λ₁)^2. Диффер-я это тождество по переменной λ, получим 2λ+p=(λ-λ₁)

Откуда требуемое рав-во следует при λ=λ_1. Частные реш-я y_{1 и} y₂ линейно независимы, тк определитель Вронского

W(y₁, y₂₎= ==

e^2λx<>0, любое х принадл. R, т.о, общее решение Ур-я (1) в этом случае имеет вид y= C₁e^λ1x+C₂xe^λ1x

3.λ₁ и λ₂ - комплексно –сопряженные : λ₁₌ά+ίβ, λ₂₌ά- ίβ, β<>0

Тогда комплексные ф-и действит аргумента

Y₁=e^{(ά+ί β)x} =e^άx(cosβx+ί sin βx)

Y₂= e^{(ά- ί β)x} =e^άx(cosβx - ί sin βx)

Будут реш-ми ДУ(1). В этом сл-е можно получить и действит. решения , воспользовавшись след. Теоремой:

Если комплексная ф-я y=U(x)+iV(x) действит. аргумента х явл-ся реш-м Ур-я (1), то действит. ф-и U(x) и V(x) тоже явл-ся решениями этого уравнения.

Из теоремы следует, что ф-и U=e^2xcos βx, V= e^άx sin βx явл-ся частными реш-ми Ур-я (1). Они линейно независимы, тк их опр-ль Вронского

W(U,V)=

=βe^2άx<>0 для любого х , принадл. R

След. В этом случае общее решение Ур-я (1) имеет вид

Y=e^άx(c₁ sin βx+c₂ cosβx) cosβx