- •4.Интегрирование медотом разложения.
- •5.Интегрирование путем замены.
- •6.Интегрирование по частям.
- •7.Интегрирование простейших рациональных дробей.
- •8.Интегрирование простейших иррациональных выражений.
- •9. Разложение рациональных дробей на сумму элементарных дробей.
- •10.Интегрирование рациональных дробей.
- •11.Интегрирование функций, рационально зависящих от тригонометрических функций.
- •12.Интегрирование некоторых алгебраических иррациональностей.
- •13 Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции
- •14.Нижняя и верхняя интегр-ая суммы.
- •15.Понятиеопредел.Интеграла(ои),теорема об интегрируемости ф-и.
- •16.Св-ва опр.Инт-ла(ои)
- •17.Ои с переменным верхним пределом.
- •18.Методы вычисл-я ои.
- •19.Экономич-й смысл ои.
- •21. Понятие несобственного интеграла.
- •22. Определение двойного интеграла. Теорема о сущ двойного интеграла.
- •23. Сведение двойного интеграла к повторному.
- •24. Функция 2-х переменных.
- •25. Определение предела функции двух переменных, его геометр. Смысл
- •26. Непрерывность ф-ии 2-х переменных, точки разрыва
- •27. Понятие частной производной ф-и 2-х переменных, ее геом. Смысл.
- •28. Нахождение частных производных высших порядков. Теорема Шварца
- •29. Приращения ф-ии 2-х переменых
- •30. Полный дифференциал ф-ции 2-ух переменных. Теоремы о дифференцируемости ф-ции 2-ух переменных.
- •31.Дифференциалы высших порядков
- •32. Дифференцирование сложной ф-ии
- •33.Диф-е неявной ф-ции
- •38. Задача Каши. Сущ-е единств-го решения деф-го ур-я.
- •39. Диф.Ур-ия с разделяющимися переменными.
- •40.Однородные дифференциальные ур-я 1-го порядка.
- •41.Линейные дифференциальные ур-я 1-го порядка.
- •42.Дифференциальные ур-я высших порядков.
- •43 Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка. Их свойства.
- •44.Решение лоду 2-го порядка с постоянными коэффициентами
- •45.Нлду 2-ого порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью.
- •46.Числовой ряд и его сходимость.
- •47.Сумма числового ряда. Примеры сходящихся и расходящихся рядов.
- •48.Необходимый признак сходимости ряда.
- •49. Гармонический ряд.
- •55. Признак сходимости Лейбница для знакопеременных рядов
- •56Степенной ряд
- •57. Теорема Абеля
- •58. Область сходимости степенного ряда
- •59. Понятие рядов Тейлора и Маклорена
- •60.Разложение некоторых элементарных функций в степенные ряды
59. Понятие рядов Тейлора и Маклорена
Пусть функция f(x) в некоторой окрестности точки x0 имеет производные любых порядков. Степенной ряд: ∞
f(x0)+f´(x0)(x-x0)+(f´´(x0)/2!)(x-x0)²+…+(fⁿ(x0)/n!)(x-x0)+…=∑ (fⁿ(x0)/n!)(x-x0)ⁿ n=0
Называется рядом Тейлора функции f(x) в точке x0. Если x0=0, то ряд
∞
f(0)+f´(0)x+(f´´(0)/2!)x²+…+(fⁿ(0)/n!)xⁿ +…=∑(fⁿ (0)/n!)xⁿ называется рядом
n=0
Маклорена. Ряд Тейлора, составленный для ф-ции f(x), как всякий степенной ряд будет иметь интервал сходимости и сумму, причем сумма может быть и не равной f(x). Из ряда Тейлора следует, что его n-й частичной суммой является многочлен
Pn(x)=f(x0)+f´(x0)(x-x0)+(f´´(x0)/2!)(x-x0)²+…+(fⁿ (x0)/n!)(x-x0)ⁿ , который называется многочленом Тейлора. Отсюда, если ряд Тейлора сходится к ф-ции f(x), то
f(x)=Pn(x)+rn(x), где rn(x)-остаток ряда. Для сходимости ряда Тейлора к ф-ции f(x) необходимо и достаточно выполнение условия
lim rn(x)=0,где х принадлежит некоторой окрестности точки х0.
n→∞
60.Разложение некоторых элементарных функций в степенные ряды
Рассмотрим разложения в степенной ряд(ряд Маклорена) некоторых элементарных функций:
f(x)=℮x. Имеем:
f(x)=f´(x)=…=fx (x)=℮x
f(0)=f´(0)=…=fx (0)=℮º=1
Составим ряд Маклорена:
1+x+x²/2!+…+xⁿ/n!+… (1)
Найдем радиус сходимости ряда
R= lim |an/(an +1)| =lim (n+1)!/ n! =lim (n+1) =+∞
n→∞ n→∞ n→∞
Следовательно, ряд (1) абсолютно сходится на всей числовой прямой. Ряд (1) сходится к ф-ции ex при любом x Є (-∞; +∞), т.к. на любом отрезке [ -a;a] ф-ция ex и ее производные ограничены одним и тем же числом, например ea. Таким образом, при любом x имеет место разложение:
ex=1+x+x²/2!+…+xⁿ/n!+…
2. Разложение ф-ции f(x) =sinx
Так как f´(x)= cos x=sin(x+π/2), f´´(x)= -sinx=sin(x+2· π/2), f´´´(x)= -cosx= sin(x+ 3·π/2), f´´´´(x)=sinx=sin(x+4·π/2),…
fⁿ (x)=sin(x+nπ/2), fn+1 (x)=sin(x+ (n+1)π/2);
f(0)=0, f´(0)=1, f´´(0)=0, f´´´(0)= -1, f´´´´(0)=0,...;
fⁿ(0)=sin(nπ/2), fn+1 (θx)= sin(θx+(n+1)π/2), то sinx=x-x3/3! +x5/5! –x7/7!+...+
xⁿ/n! sin(nπ/2)+xn+1/((n+1)!)sin(θx+(n+1)π/2) (2)
Остаточный член Rn(x)=xn+1/((n+1)!)sin(θx+(n+1)π/2) формулы (2) также стремится к нулю при n→∞.
3.Разложение ф-ции f(x)=cosx
Поскольку f´(x) = - sinx = cos(x+π/2), f´´(x) = - cos(x) = cos(x+2·π/2),
f´´´(x) = sinx = cos(x+3·π/2), f´´´´(x) = cosx =cos(x+4·π/2),…,
fn(x) =cos(x+nπ/2), fn+1 (x) = cos(x+(n+1)/2);
f(0)=1, f´(0)=0, f´´(0)= -1, f´´´(0) =0, f´´´´ (0) =1,…,
fⁿ(0) =cos(nπ/2), fn+1(θx) = cos(θx+(n+1)π/2), то cosx= 1 - x²/2! + x4/4! – x6/6! +…+xⁿ/n!(cos (nπ/2)) + xn+1/(n+1)!(cos( θx+ (n+1)π/2)) (3)
Каково бы ни было x, остаточный член формулы (3) стремится к нулю при n→∞.
4. Разложение ф-ции f(x) =( a+x)ⁿ, где а – действительное число, n- натуральное число.
Поскольку k-я производная данной ф-ции:
fk(x) = n (n -1)….(n –k + 1)(a + x )n-k (k=1,2,…,n)
при x=0 принимает значение:
fk(0) =n (n -1)…(n –k +1)an-k (k = 1,2,...,n), то (a+x)ⁿ = aⁿ +nan-1 x +n(n-1)/2!( an-2 x²)+ n(n-1)(n-2)/3!(an-3x3) +….+((n(n-1)…2)/(n-1)!)axn-1 +xⁿ . Это рав-во называется формулой бинома Ньютона.