- •2 Определители матриц
- •4 Координаты на прямой в плоскости и пространстве.Оси,направленные отрезки.
- •5 Векторы. Линейные операции над векторами, разложение вектора по базису
- •Линейные операции над векторами
- •Базис и разложение по базису
- •Обозначения
- •6 Скалярное,векторное и смешанное произведение векторов.
- •18 Основные правила нахождения производной
- •19 Применение производной к нахождению нибольших и наименьших значений функций на отрезке.
- •20 Функции 2 переменных. Частные производные. Перестановочность частных производных.Линии уровня.Градиент.
- •Способы задания функции
- •Непрерывность функции двух переменных
- •Основные свойства непрерывных функций двух переменных
- •21 Пределы и непрерывность функций 2 переменных. Особые точки
- •Особые точки векторных полей на плоскости
- •22 Двойные интегралы. Мин и Макс значение функции 2 переменных в области
- •25 Разложение в степенные ряды основных элементарных функций.Формула Моавра.
- •26 Дифференциал функции.
- •27 Применение дифференциала
- •29 Таблица основных неопределённых интегралов.
- •35 Элементы комбинаторики-перестановки,размещения, сочетания
- •Размещения, перестановки, сочетания
- •Свойства чисел
- •Треугольник Паскаля
- •36 Понятие случайного события, вероятность события.
- •0 Ј p(a) ј 1
- •37 Основные правила нахождения вероятности события.38,39
- •40 Схема Бернулли. Формула Пуасова. Локальная и интегральные формулы Моавра-Лапласа
- •41 Функция распределения. Закон распределения.
- •42 Корреляция. Вычисление коэффицициентов корреляции.
2 Определители матриц
Определители матриц, способ № 1:
Определителем квадратной матрицы (det A) называется число, которое может быть вычислено по элементам матрицы по формуле:
, где М1k - определитель матрицы (детерминант), полученной из исходной матрицы вычеркиванием первой строки и k - oго столбца. Следует обратить внимание на то, что определители имеют только квадратные матрицы, т.е. матрицы, у которых число строк равно числу столбцов. Первая формула позволяет вычислить определитель матрицы по первой строке, также справедлива формула вычисления определителя матрицы по первому столбцу:
Вообще говоря, определитель матрицы может вычисляться по любой строке или столбцу матрицы, т.е. справедлива формула:
Очевидно, что различные матрицы могут иметь одинаковые определители. Определитель единичной матрицы равен 1. Для указанной матрицы А число М1k называется дополнительным минором элемента матрицы a1k. Таким образом, можно заключить, что каждый элемент матрицы имеет свой дополнительный минор. Дополнительные миноры существуют только в квадратных матрицах.
Дополнительный минор произвольного элемента квадратной матрицы aij равен определителю матрицы, полученной из исходной матрицы вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.
Определители матриц, способ № 2:
Определителем матрицы первого порядка, или определителем первого порядка, называется элемент а11:
Определителем матрицы второго порядка, или определителем второго порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:
Определителем матрицы третьего порядка, или определителем третьего порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:
Это число представляет алгебраическую сумму, состоящую из шести слагаемых. В каждое слагаемое входит ровно по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы. Каждое слагаемое состоит из произведения трех сомножителей.
Знаки, с которыми члены определителя матрицы входят в формулу нахождения определителя матрицы третьего порядка можно определить, пользуясь приведенной схемой, которая называется правилом треугольников или правилом Сарруса. Первые три слагаемые берутся со знаком плюс и определяются из левого рисунка, а последующие три слагаемые берутся со знаком минус и определяются из правого рисунка.
Замечание:
Вычисление определителей матриц четвертого и более высокого порядка приводит к большим вычислениям, так как:
для нахождения определителя матрицы первого порядка мы находим одно слагаемое, состоящее из одного сомножителя;
для нахождения определителя матрицы второго порядка нужно вычислить алгебраическую сумму из двух слагаемых, где каждое слагаемое состоит из произведения двух сомножителей;
для нахождения определителя матрицы третьего порядка нужно вычислить алгебраическую сумму из шести слагаемых, где каждое слагаемое состоит из произведения трех сомножителей;
для нахождения определителя матрицы четвертого порядка нужно вычислить алгебраическую сумму из двадцати четырех слагаемых, где каждое слагаемое состоит из произведения четырех сомножителей и т.д.
Определить количество слагаемых, для нахождения определителя матрицы, в алгебраической сумме, можно вычислив факториал: 1! = 1 2! = 1 × 2 = 2 3! = 1 × 2 × 3 = 6 4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24 5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120 ...