Непрерывность функции двух переменных

 

Определение 25.7.

Функция называетсянепрерывной в точке , если она определена в некоторой окрестности этой точки (включая саму точку) и предел функции в этой точке существует, и равен значению функции в этой точке, т.е.

или .

 

Пример 25.3.

 

1) непрерывна в любой точке.

2)

Предел не существует при , т.е. (0,0) – точка разрыва.

 

Основные свойства непрерывных функций двух переменных

Определение 25.8.

Множество точек плоскости называетсясвязным, если любые две точки этого множества можно соединить линией.

Определение 25.9.

Точка называетсявнутренней точкой множества , если существует, состоящая из точек данного множества.

Определение 25.10.

Связное, открытое множество (состоящее лишь из внутренних точек) называетсяоткрытой областью или просто область

(например, внутренность круга).

Определение 25.11.

Точка называетсяграничной точкой области, если в любой существуют точки, как ей принадлежащие, так и не принадлежащие. Множество всех граничных точек этой области называетсяграницей области. Обозначение: .

Определение 25.12.

Множество точек, образованное областью и ее границей, называется замкнутой областью.

 

Определение 25.13.

Множество называется ограниченным, если существует круг, внутри которого оно содержится.

 

Замечание 4. Замкнутая ограниченная область, в которой определена функция двух переменных, является аналогом отрезка для функции одной переменной.

 

1) Если функция непрерывна в замкнутой ограниченной области, то.

2) Если функция непрерывна в замкнутой ограниченной области, то она достигает в этой области своих точных граней.

3) Непрерывная в области функция принимает все свои промежуточные значения, т.е. если

и , то.

Частные производные

 Пусть функция определена в окрестности точки. Зададим переменнойв точкеприращение, оставляянеизменным, т.е. перейдем к точке, принадлежащей области(области определения функции).

 

Определение 26.1.

называется частным приращением по переменной в точке

 

 

Определение 26.2.

Если существует предел , то он называетсячастной производной функции в точкепо переменной.

Обозначение: .

 

Аналогично определяется

.

 

Если рассматривать частную производную по переменной в любой точке области определения функциина области, то частные производные можно рассматривать как новые функции на области.

Таким образом, частная производная функции двух переменных по переменной есть обычная производная одной переменнойпри фиксированном значении.

 

Пример 26.1.

Найти частные производные функций: ,,.

1) .

, .

2)

.

3) .

 

Понятие дифференцируемости функции двух переменных

 

Определение 26.3.

Пусть определена функция , тогда

- полное приращение функции.

 

Определение 26.4.

Пусть функция определена в окрестности точки.

Функция называетсядифференцируемой в точке , если ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде:

(26.1),

где -константы,-бесконечно малые функции  при .

 

Теорема 26.1.

Если функция дифференцируема в точке, то онанепрерывна в этой точке.

 

Доказательство.

Очевидно из (26.1): .

 

Теорема 26.2 (необходимое условие дифференцируемости).

Если функция дифференцируема в точке, то она имеет в этой точке частные производные, причем:

.                  (26.2)

 

Доказательство.

Пусть имеет место формула (26.1).

Положим ,

где при- бесконечно малая функция.

Разделив на , и переходя к пределу при, получим:

,

то есть частная производная по переменной существует и равна.

Второе равенство доказывается аналогично.

 

Замечание 1. Из непрерывности не следует ее дифференцируемость!

 

Пример 26.2.

непрерывна в точке (0,0), но не существует.

Аналогочно, не существует частной производной по . Следовательно, функция не дифференцируема.

 

Замечание 2. Из существования частных производных не следует дифференцируемость функции.

 

Пример 26.3.

Функция имеет частные производные в точке (0,0),

но не является в этой точке непрерывной, следовательно –

не дифференцируема.

 

Теорема 26.3 (достаточное условие дифференцируемости).

Если функция имеет частные производные в некоторой окрестности точкии эти производные непрерывны в самой точке, то функция дифференцируема в точке.

 

Следствие.

Если частные производные непрерывны, то функция непрерывна.

 

Определение 26.5.

Если функция дифференцируема в точке, то дифференциаломназываетсялинейная относительно приращений часть полного приращения этой функции в точке, т.е.

, или

(26.3)

 

Дифференциалами независимых переменных называются их приращения

 

(26.3’)

 

Производная сложной функции двух переменных

Пусть – функция двух переменныхи каждая из них является функцией от переменной:.

Тогда – сложная функция переменной.

 

Теорема 26.4.

Если функции дифференцируемые в точке,

–дифференцируема в точке , то сложная функциятакже дифференцируема в точке. При этом:

(26.4)

 

Пример 26.4.

1)

.

 

2)

.

 

Замечание 3.

Если и, то.

Градие́нт (от лат.gradiens, род. падеж gradientis — шагающий, растущий) — вектор, своим направлением указывающий направление наискорейшего возрастания некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой (скалярного поля), а по величине (модулю) равный быстроте роста этой величины в этом направлении.

Например, если взять в качестве высоту поверхности Земли над уровнем моря, то её градиент в каждой точке поверхности будет показывать «направление самого крутого подъёма», и своей величиной характеризовать крутизну склона.

Для случая трёхмерного пространства градиентом скалярной функции координат,,называется векторная функция с компонентами

, ,.

Или, использовав для единичных векторов по осям прямоугольных декартовых координат :

Если — функцияпеременных, то её градиентом называется-мерный вектор

компоненты которого равны частным производным по всем её аргументам.

• Размерность вектора градиента определяется, таким образом, размерностью пространства (или многообразия), на котором задано скалярное поле, о градиенте которого идет речь.

• Оператором градиента (обозначаемым обычно, как говорилось выше, или) называется оператор, действие которого на скалярную функцию (поле) дает ее градиент. Этот оператор иногда коротко называют просто "градиентом".

Смысл градиента любой скалярной функции в том, что его скалярное произведение с бесконечно малым вектором перемещениядаетполный дифференциал этой функции при соответствующем изменении координат в пространстве, на котором определена , то есть линейную (в случае общего положения она же главная) часть измененияпри смещении на. Применяя одну и ту же букву для обозначения функции от вектора и соответствующей функции от его координат, можно написать:

Стоит здесь заметить, что поскольку формула полного дифференциала не зависит от вида координат , то есть от природы параметров x вообще, то полученный дифференциал является инвариантом, то есть скаляром, при любых преобразованиях координат, а поскольку— это вектор, то градиент, вычисленный обычным образом, оказываетсяковариантным вектором, то есть вектором, представленным в дуальном базисе, какой только и может дать скаляр при простом суммировании произведений координат обычного (контравариантного), то есть вектором, записанным в обычном базисе. Таким образом, выражение (вообще говоря — для произвольных криволинейных координат) может быть вполне правильно и инвариантно записано как:

или, опуская по правилу Эйнштейна знак суммы,

(в ортонормированном базисе мы можем писать все индексы нижними, как мы и делали выше). Однако градиент оказывается настоящим ковариантным вектором в любых криволинейных координатах.

линией уровня функции называется множество точек из ее области определения, в которых функция принимает одно и то же фиксированное значение. Градиентом функции f(x) называется вектор

Δf(x) = df,…, df

dx₁ dx_n

указывающий направление наиболее быстрого возрастания функции, и, стало быть, ориентированный перпендикулярно линиям уровня.

Для линейной функции двух переменных линия уровня представляет собой прямую, перпендикулярную вектору с, который служит градиентом данной функции. Следовательно, если линия уровня определяется уравнением f(x)=c₁x₁+ c₂x₂ =const, то этот вектоp имеет вид

и указывает направление возрастания функции.

Таким образом, с геометрической точки зрения задача максимизации сводится к определению такой точки области D, через которую проходит линия уровня, соответствующая наибольшему из возможных значений. Последнее означает, что для нахождения точки экстремума в задаче линейного программирования мы должны сначала построить линию уровня для некоторого произвольного значения целевой функции. Затем необходимо осуществлять ее параллельное передвижение (так, чтобы она оставалась перпендикулярной вектору с) до тех пор, пока не достигнем такой точки области допустимых планов D, из которой смещение в направлении вектора с было бы невозможно. Такой метод решения получил название графического. Заметим, что решение задачи поиска минимума линейной функции осуществляется аналогично, с той лишь разницей, что движение по линиям уровня должно производиться в направлении, обратном градиенту целевой функции, т. е. по вектору (-с).

На рис. 1.1 изображен некоторый частный случай, для которого решение ЗЛП достигается в угловой точке х* = (0, 6) области D. Нетрудно представить, что возможны и другие варианты. Они изображены на рис. 1.2.

Рисунок (а) иллюстрирует ситуацию неограниченности целевой функции f(x)=cx на множестве D, т.е. сколько бы мы ни перемещались по линиям уровня в направлении вектора с, ее значение будет возрастать.

В случае, изображенном на рисунке (b), линия уровня, соответствующая максимальному значению f(x), касается грани множества D, и, соответственно, все точки, лежащие на этой грани, являются оптимальными планами.

Во всех рассмотренных иллюстрациях допустимые планы ЗЛП представлялись в виде некоторого многогранного выпуклого множества на плоскости. Такое их представление в литературе получило название первой геометрической интерпретации задачи линейного программирования.