21 Пределы и непрерывность функций 2 переменных. Особые точки

Пусть функция z =(х, у) определена в области D плоскости XOY, а т.лежит в области D (см. рис. 11.4).

О: Число А называется пределом функции f(x, у) при стремлении т. М(х, у) к т.если для любого числа>0 найдется такое число>0, что для всех т. М(х, у)за исключением, быть может, т.справедливо неравенство

Основные теоремы о пределах функции одной переменной (см. разд. 7.5) справедливы и для функций двух и большего числа переменных.

О: Функция z =(х, у) называется непрерывной в т.если: 1) она определена в т.и ее окрестности,

2)

О: Функция z =f(x, у) называется непрерывной на некотором множестве ЕD, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

О: Точканазывается точкой разрыва функции(М), если в ней нарушено хотя бы одно из условий 1), 2). Точки разрыва могут быть изолированными, могут образовывать линии разрыва.

Примеры: 1)

Функция не определена в точках, в которых знаменатель обращается в нульу = х — линия разрыва

2)

т.— точка разрыва

Для функции трех и более переменных определения предела и непрерывности аналогичны.

О: Число А называется пределом функции у =(М) при стремлении т.к т.еслидля любого> 0 существует такое> 0, что из условия

следует

В математикеособой точкой векторного поляназывается точка, в которой векторное поле равно нулю. Особая точка векторного поля является положением равновесия или точкой покоя динамической системы, определяемой данным векторным полем: фазовая траектория с началом в особой точке состоит в точности из этой особой точки, а соответствующая ей интегральная кривая представляет собой прямую, параллельную оси времени.

В любой малой окрестности фазового пространства, не содержащей особых точек, векторное поле можно выпрямитьподходящей заменой координат — тем самым, поведение системы вне особых точек устроено очень просто. Напротив, в окрестности особой точки система может обладать очень сложной динамикой. Говоря о свойствах особых точек векторных полей, обычно подразумевают свойства соответствующей системы в малой окрестности особой точки.

Особые точки векторных полей на плоскости

Простейшими примерами особых точек являются особые точки линейных векторных полей на плоскости. С понятием векторного поля на плоскости можно связать линейную систему дифференциальных уравнений вида:

,

где — точка на плоскости,—матрица. Очевидно, точкав случае невырожденной матрицыявляется единственной особой точкой такого уравнения.

В зависимости от собственных значенийматрицы, различают четыре типа невырожденных особых точек линейных систем: узел, седло, фокус, центр.

22 Двойные интегралы. Мин и Макс значение функции 2 переменных в области

Пусть в замкнутой области D задана функция z=z(x,y), имеющая непрерывные частные производные первого порядка. Граница Г области D является кусочно гладкой (т. е. состоит из кусков "гладких на ощупь" кривых или прямых). Тогда в области D функция z(x,y) достигает своего наибольшего M и наименьшего m значений.

Без доказательства.

Можно предложить следующий план нахождения M и m. 1. Строим чертёж, выделяем все части границы области D и находим все "угловые" точки границы. 2. Находим стационарные точки внутри D. 3. Находим стационарные точки на каждой из границ. 4. Вычисляем во всех стационарных и угловых точках, а затем выбираем наибольшее M и наименьшее m значения.