48.Необходимый признак сходимости ряда.

Теорема. Если ряд u₁+u₂+…+u_n-1+u_n+… сходится, то его n-й член u_n при неогран возрастании номера n стремится к 0.Док-во. Мы имеем: S_n-1= u₁+u₂+…+u_n-1 и S_n= u₁+u₂+…+u_n-1+u_n. Отсюда u_n= S_n- S_n-1.Т.к_. данный ряд сходится, то lim S_n=S и lim S_n-1=S. Отсюда lim u_n=lim (S_n- S_n-1)= lim S_n- lim S_n-1=S-S=0, что и требовалось док-ть. Следствие: Если n-й член ряда при неограниченном возрастании его номера n не стремится к 0, то этот ряд расходится.

Доказанный необходимый признак сходимости ряда не явл достаточным. Можно привести примеры рядов,у кот-х общий член u_n стремится к 0 при n стемящемся в бесконечность, ряд тем не менее расходится.

49. Гармонический ряд.

Одним из примеров бесконечного ряда явл гармон ряд.(1+1/2+1/3+…+1/n+…, n-й член к-го равен u_n=1/n).Исследуем гармон ряд на сходимость. Очевидно, что lim1/n=0, однако гармон ряд расходится. Предположим, что ряд 1+1/2+1/3+…+1/n+…=Σ1/n сходится и его сумма равна S, тогда:lim(S_2n-S_n)= lim S_2n –lim S_n=S-S=0. Из неравенства: S_2n-S_n=1/n+1/1n+2+…+1/2*n ≥n*1/2*n=1/2,n€ N, предельным переходом по n получаем противоречие:0≥1/2

50. Ряд геометрической прогрессии. Исследовать, при каких знач-х q сходится ряд ∑аq^n-1 .Члены этого ряда образуют геометр. прогрессию со знаменателем q. будем кратко называть этот ряд геометрич. прогрессией или геометрич. рядом. Поскольку S_n= a+aq+aq²+…+aq^n-1; qS_n=aq+aq²+aq³+…+aqⁿ;

S_n─qS_n=a─aqⁿ, S_n(1─q)= a(1─qⁿ), то при q≠1 S_n=a(1-qⁿ)/(1-q).

Из последнего рав-ва видно, что наличие предела n-й частичной суммы ряда зависит от величины q, а именно:

1.при |q|<1 lim qⁿ=0, lim S_n=a/(1-q), S=a/(1-q);─ряд сходится.

2.при |q|>1 lim qⁿ= ∞, lim S_n= ∞;─ряд сходится.

3.при q=1 ряд принимает вид а+а+…+а+…, для него S_n=na, lim S_n=∞;─ряд расходится.

4.при q=−1 ряд принимает вид а-а+а-…+(-1)^n-1a+…, для него S_2m=0, S_2m+1=a, последовательность частичных сумм не имеет предела;─ряд расходится.

Следовательно, геометр. прогрессия сходится тогда и только тогда, когда |q|<1; ее сумма выражается формулой S=a/(1-q).

Остатком ряда после n-го члена( или n-м остатком) наз-ся ряд, полученный из данного отбрасыванием его первых n членов.

№51Простейшие свойства сходящихся рядов

1. Если ряд сходится, то сходится любой из его

остатков. Наоборот, из сходимости какого-то остатка вытекает сходимость всего ряда. Отсюда следует, что изменение или выбрасывание конечного числа членов ряда не изменяет его сходимости или расходимости.

2. Если ряд сходится, то

3. Если ряд сходится, то сходится ряди имеет место равенство

4. Если ряды исходятся, то сходится и рядимеет место равенство 5. Если ряд сходится, то

Отсюда следует Признак расходимости ряда. Если , то рядрасходится

52достаточные признаки …. Будем рассматривать числовые ряды с полож членами. Установим признаки, с помощью которых можно исследовать, сходится ли данный ряд на основании сравнения его с др сходящимся или расходящимся рядом. Эти признаки выражаются след теоремами Теорема 1. Если каждый член ряда с полож членами (1) не превосходит соответствующего члена ряда(2) и ряд (2) сходится , то сходится и ряд (1) ; если ряд (1) расходится , то расходится и ряд (2).

Док-во: По усл 0<an<=bn(n=1,2,3…). Oбозначим через Sn и n-е частичные суммы рядов(1)и (2) соответственно: Sn=a1+a2+…=an,

Т к ряд (2) сходится б=, то последовательностьего частичных сумм имеет предел и поэтому ограничена сверху: это означает, что сущ такое число, чтоn<=для всехn. Поскольку Sn<=n, то Sn<=для всехn, т е последовательность также ограничена сверху. Эта послед явл возрастающей (члены ряда положительны, с увеличением числа слагаемых возрастает сумма), поэтомуимеет предел ,

что и требовалось док-ть.

Теорема2. Если сущ предел (0<c<+) (3), то ряды с положительными членами (1) и (2) одновременно сходятся или расходятся

Док-во: Равенство (3) означает , что для любого сущ такой номерN что при всех n>N выполняется неравенство откуда,Взяви обозначивполучимили, поэтому,гдеSn и -n-е частичные суммы рядов (1) и (2) соотв.

Пусть ряд (2) сходится ,тогда . очевидно, сходится и ряд Отсюда из неравенствапо теореме 1 получаем, что сходится и ряд(1) . Если ряд (1) сходится ,то из неравенстваи теоремы1 след что сходится рядтогда очевидно сходится и ряд.

Таким образом доказано что из (2) след сходимость ряда (1) и обратно. Утверждение теоремы о расходимости рядов доказывается методом от противного.