- •4.Интегрирование медотом разложения.
- •5.Интегрирование путем замены.
- •6.Интегрирование по частям.
- •7.Интегрирование простейших рациональных дробей.
- •8.Интегрирование простейших иррациональных выражений.
- •9. Разложение рациональных дробей на сумму элементарных дробей.
- •10.Интегрирование рациональных дробей.
- •11.Интегрирование функций, рационально зависящих от тригонометрических функций.
- •12.Интегрирование некоторых алгебраических иррациональностей.
- •13 Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции
- •14.Нижняя и верхняя интегр-ая суммы.
- •15.Понятиеопредел.Интеграла(ои),теорема об интегрируемости ф-и.
- •16.Св-ва опр.Инт-ла(ои)
- •17.Ои с переменным верхним пределом.
- •18.Методы вычисл-я ои.
- •19.Экономич-й смысл ои.
- •21. Понятие несобственного интеграла.
- •22. Определение двойного интеграла. Теорема о сущ двойного интеграла.
- •23. Сведение двойного интеграла к повторному.
- •24. Функция 2-х переменных.
- •25. Определение предела функции двух переменных, его геометр. Смысл
- •26. Непрерывность ф-ии 2-х переменных, точки разрыва
- •27. Понятие частной производной ф-и 2-х переменных, ее геом. Смысл.
- •28. Нахождение частных производных высших порядков. Теорема Шварца
- •29. Приращения ф-ии 2-х переменых
- •30. Полный дифференциал ф-ции 2-ух переменных. Теоремы о дифференцируемости ф-ции 2-ух переменных.
- •31.Дифференциалы высших порядков
- •32. Дифференцирование сложной ф-ии
- •33.Диф-е неявной ф-ции
- •38. Задача Каши. Сущ-е единств-го решения деф-го ур-я.
- •39. Диф.Ур-ия с разделяющимися переменными.
- •40.Однородные дифференциальные ур-я 1-го порядка.
- •41.Линейные дифференциальные ур-я 1-го порядка.
- •42.Дифференциальные ур-я высших порядков.
- •43 Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка. Их свойства.
- •44.Решение лоду 2-го порядка с постоянными коэффициентами
- •45.Нлду 2-ого порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью.
- •46.Числовой ряд и его сходимость.
- •47.Сумма числового ряда. Примеры сходящихся и расходящихся рядов.
- •48.Необходимый признак сходимости ряда.
- •49. Гармонический ряд.
- •55. Признак сходимости Лейбница для знакопеременных рядов
- •56Степенной ряд
- •57. Теорема Абеля
- •58. Область сходимости степенного ряда
- •59. Понятие рядов Тейлора и Маклорена
- •60.Разложение некоторых элементарных функций в степенные ряды
55. Признак сходимости Лейбница для знакопеременных рядов
Ряд вида
a1 - a2 + a3 - a4 + ... + (-1)n-1×an +..., (6.1)
an ³ 0 при n = 1,2,3,... называется знакопеременным (то есть рядом стоящие члены имеют противоположные знаки).
Для таких рядов справедлива следующая теорема.
Теорема 6.1. (Лейбница). Если абсолютные величины членов знакопеременного ряда (6.1) монотонно убывают при n ® ¥, то есть
│a1│≥│a2│≥│a3│≥…
И lni→m∞an=0, то ряд 6.1 сходится (вообще говоря, неабсолютно).
Д о к а з а т е л ь с т в о :
Рассмотрим конечную сумму ряда, состоящего из 2m членов
S2m = (a1 - a2) + (a3 - a4) + ... + (a2m-1 - a2m).
На основании условия теоремы слагаемые в скобках положительны или равны нулю, значит, S2m³0.
Если число членов 2m возрастает, то S2m - не убывает, так как каждый раз добавляются неотрицательные члены. Теперь представим, что
S2m = a1 - (a2 - a3) - (a4 - а5) - ... - a2m.
Но тогда S2m £ a1, и тогда {S2m}- монотонно неубывающая последовательность и, будучи ограниченной последовательностью, она стремится к некоторому пределу
LnI→∞MS2m=S
Также очевидно, что
S2m+1 = S2m + a2m+1,
но по условию теоремы lima2m+1=0 m→∞
и тогда имеем, что
limS2m+1=limS2m+limA2m+1=S.Получили, что последовательность частных сумм {Sn} при n ® ¥ стремится к одному и тому же пределу S, но тогда ряд по определению сходится.
З а м е ч а н и е. Погрешность при приближенном вычислении суммы сходящегося знакопеременного ряда в условиях теоремы по абсолютной величине не превышает абсолютной величины первого отброшенного члена.
56Степенной ряд
Важнейшие для практики функциональные ряды – это степенные. Степенным рядом наз. ряд вида a0+a1x+a2x2+…+anxn+…, (1)
а также ряд более общего вида
a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+…+an(x-x0)n+…, (2)
где x0 – постоянная величина. О ряде (1) говорят, что он расположен по степеням x, о ряде (2) – что он расположен по степеням x-x0.
Постоянные a0, a1, . . . , an, . . . наз. коэффициентами степенного ряда.
Если обозначить x-x0 через z, то ряд (2) окажется расположенным по степеням z, т. е. примет вид (1). Поэтому в дальнейшем, если особо не оговорено, степенным рядом именуется ряд вида (1). Степенной ряд всегда сходится при x=0.
57. Теорема Абеля
Теорема. Если степенной ряд
a0+a1x+a2x2+…+anxn+… (1)
сходится в какой-либо точке x0, то он сходится абсолютно и равномерно во всяком замкнутом промежутке (a, b), лежащем внутри промежутка (-│x0│,+│x0│).
Пример. Ряд x/1+x2/2+…+xn/n+… (2)
сходится в точке x = -1, обращаясь в ряд
-1/1+1/2-1/3+1/4-…
По теореме Абеля ряд (2) сходится абсолютно и равномерно во всяком замкнутом промежутке, лежащем внутри промежутка (-1, 1), например в замкнутом промежутке (-0,99; 0,99).
Если в качестве левого конца отрезка(a, b) взять точку x0=-1, то нарушится абсолютная сходимость. Если в качестве правого конца (a, b) взять точку x=1, то ряд (2) станет расходящимя.
58. Область сходимости степенного ряда
Степенным рядом называется
функциональный ряд вида:
∞
a0+a1x+a2x²+…+an xⁿ+…=∑an xⁿ
n=0
членами которого являются степенные
функции. Действительные числа an(n=0,1,2,…)
называются коэффициентами степенного ряда.
Теорема Абеля утверждает, что если степенной ряд
сходится при x0≠0,то он сходится абсолютно
при любом x из интервала (-|x0|,|x0|) Если же ряд расходится
при x=x1, то он расходится во всех точках,
расположенных вне интервала(-|x1|,|x1|).