45.Нлду 2-ого порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью.

Ур-ние имеет вид:

y’’+py^’+qy=f(x) (1), p,q-постоянные,f(x)-непрерывная функция.

1-ый случай:

Пусть f(x) имеет следующий вид:

f(x)=Р_n(x)

f(x)=P_n(x)*e^αx

1-ый вариант. Когда α не является корнем характеристического уравнения k²+pk+q=0.В этом случае y_ч=P_n(x)*e^αx

Для того,чтобы определить этот многочлен (P_n) найдем наше у”_ч

y_ч^’=P_n^’(x)*e^αx+P_n(x)*α*e^αx (2)

^y_ч”=P_n”(x)*e^αx+P_n’(x)* α*e^αx+ P_n’(x)* α*e^αx+P_n(x)*α²e^αx=e^αx(P_n”(x)+2P_n’(x)*α+P_n(x) * α²) (3)

Подставим наше у,у’,y” в исходное уравнение (1).

P_n”(x)+(2α+p)* P_n’(x)+P_n(x)*(α²+pα+q)= P_n(x) (4)

2-ой вариант:

Если число α-простой корень характеристического ур-ния.Если бы в этом случае частное решение искали в фор-ле (3),то в рав-ве (4) получился бы слева многочлен(n-1) степени,а справа получилась бы n-ная степень.Следовательно, ни при каких значениях постоянное рав-во (4) не будет тож-вом.Поэтому частное решение нужно брать в виде многочлена (n+1) степени.

у_ч=x*P_n(x)* e^αx (5)

3-ий вариант:

В результате подстановки получается в ур-нии (4):

у_ч=x^e* P_n(x)* e^αx (6)

2-ой случай:

f(x,y)= P_n(x)* e^αx *cosβx+Q_m(x)* e^αx*sinβx (7), Q_m, P_n-многочлены n-ной и m-ной степени.Переходим от тригонометр.ф-ций к показательным.

e^iz=cos z+isin z

e^-iz=cos z- isin z

cos z=(e^iz+ e^-iz)/2

sin z=(e^iz- e^-iz)/2

В силу этих равенств правая часть примет вид: cos и sin подставляем в ур-ние (7)

f(x)= P_n(x)* e^αx*e + Q_m(x)* e^αx =(1/2* P_n(x)+1/2i* Q_m(x))* e^αx+iβx+(1/2* P_n(x)- 1/2i* Q_m(x))* e^αx-iβx

Таким образом правую часть мы получим такую,как в случае (1).Если правая часть ур-ния (1) имеет вид ур-ния (7),то форма частного решения определяется так,если:1)α+iβ не явл-ся корнем характ-ого ур-ния;2) α+iβ явл-ся корнем характ-ого ур-ния.Тогда у_ч= P_n(x)* e^αx *cosβx+ Q_m(x)* e^αx*sinβx .Если α+iβ явл-ся корнем.Тогда у_ч=λ*( P_n(x)* cosβx+ e^αx+ Q_m(x)* e^αx*sinβx.

46.Числовой ряд и его сходимость.

Опр-е. Пусть (а_n)=a₁,а₂,…,а_n,…- числ посл-ть.Выражение вида a₁,а₂,…,а_n,…=Σ а_n (1) назыв числ рядом, a₁,а₂,…,а_n,…- членами ряда, а_n- n-м или общим членом ряда.Опр-е.Сумма конечного числа n первых членов ряда (1) S_n= a₁,а₂,…,а_n=Σа_к назыв n-й частичной суммой данного ряда.Опр-е. Если для посл-ти (S_n ) частичных сумм ряда (1) сущ-ет конечный предел lim S_n= S, то ряд (1) назыв сходящимся, а число S- суммой данного ряда S= a₁,а₂,…,а_n,…=Σа_n. Если предел посл-ти (S_n ) не сущ-ет или равен бесконечности, то ряд назыв расходящимся.

47.Сумма числового ряда. Примеры сходящихся и расходящихся рядов.

Сумма n первых членов ряда назыв его n-й частичной суммой. Если n-ю частичную сумму ряда а₁+а₂+…+а_к+... обозначить ч-з S_n, то по опр-нию S₁=a₁; S₂=а₁+а₂; S₃= а₁+а₂+а₃;…, S_n= а₁+а₂+а₃+…+а_n.Конечный или бесконечный предел посл-ти частичных сумм ряда называется суммой данного ряда. Обозначим эту сумму через S, тогда по определению S=lim S_n.

Сходящиеся ряды:1/1_*2+1/2_*3+1/3_*4+…+1/n(n+1)+… ; 1+1/2_*3+1/3_*3²+…+1/n_*3^n-1+…

Расходящиеся ряды:1+1/2+ 1/3+1/4+…+1/n+…(гармонический ряд)