6. Теоремы сложения и умножения вероятностей..

Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий

Р(А+В) = Р(А) + Р(В).

Следствие 1. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий

Р(А₁ + А₂ + … + А_n) = Р(А₁) + Р(А₂) + … Р(А_n).

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1

Р(А) + Р(А)= 1.

Теорема сложения вероятностей совместных событий. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ).

Теорема может быть обобщена на любое конечное число совместных событий

Р(А₁ + А₂ + А₃ +…+ А_n ) = Р(А₁) + Р(А₂) + Р(А₃) +…+ Р(А_n) – Р(A₁A₂) -Р(А₁А₃) - …-P(A_n-1A_n) + (А₁А₂А₃) +…+ Р(А_n-2А_n-1А_n) - …+ (-1)^n-1Р (А₁А₂…А_n).

Теорема умножения вероятностей. Вероятность совместного наступления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило

Р(АВ)=Р(А)Р_А(В).

В частности для независимых событий Р(АВ)=Р(А)Р(В), т.е. вероятность наступления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, вычисленную в предположении, что все предыдущие события уже наступили

Р(А₁А₂А₃…А_n)=P(A₁)P_A1(A₂)P_A1*A2(A₃)…P_A1A2…_An-1(A_n).

В частности, вероятность совместного наступления нескольких событий независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий

P(A₁A₂A₃…A_n)= P(A₁)P(A₂)…P(A_n).

48. Основные понятия дисперсионного анализа.

В процессе наблюдения за исследуемым объектом качественные факторы произвольно или заданным образом изменяются. Конкретная реализация фактора называется уровнем фактораили способом обработки. Модель дисперсионного анализа с фиксированными уровнями факторов называется моделью I, модель со случайными факторами – моделью II. Благодаря варьированию фактора можно исследовать его влияние на величину отклика.

В зависимости от количества факторов, определяющих вариацию результативного признака, дисперсионный анализ подразделяется на однофакторный и многофакторный.

Основными схемами организации исходных данных с двумя и более факторами являются:

--перекрёстная классификация, характерная для моделей I, в которых каждый уровень фактора сочетается при планировании эксперимента с каждой градацией другого фактора;

--иерархическая классификация, характерна для модели II, в которой каждому случайному, наудачу выбранному значению одного фактора соответствует свое подмножество значений второго фактора;

**Модель дисперсионного анализа с фиксированными эффектами – устанавливает строго определённые уровни изучаемого фактора.

**Модель со случайными эффектами – уровни значения фактора выбираются исследователями случайно из широкого значения диапазона фактора.

Для дисперсионного анализа однофакторных экспериментов различие этих двух моделей не столь существенно, однако в многофакторном дисперсионном анализе оно может оказаться весьма важным.

При выполнении дисперсионного анализа должны выполняться следующие статистические допущения: независимо от уровня фактора величины отклика имеют нормальный закон распределения и одинаковую дисперсию.

В основе дисперсионного анализа лежит разделение дисперсии на части или компоненты. Вариацию, обусловленную влиянием фактора, положенного в основу группировки, характеризует межгрупповая дисперсия σ². Она является мерой вариации частных средних по группам χ_јсред.вокруг общей средней и определяется по формуле:

²=,

где-k.число-групп;

n_j-число единиц в j-ой группе;

х_j сред.- частная средняя по j-ой группе;

х сред. – общая средняя по совокупности единиц.

Вариацию, обусловленную влиянием прочих факторов, характеризует в каждой группе внутригрупповая дисперсия σ²_j.

σ²_j =

Между общей дисперсией σ²₀, внутригрупповой дисперсией σ² и межгрупповой дисперсией σ² сред.существует соотношение: σ²₀ = ² + σ².

Внутригрупповая дисперсия объясняет влияние неучтённых при группировке факторов, а межгрупповая дисперсия объясняет влияние факторов группировки на среднее значение по группе.