2. Проверка значимости коэффициента корреляции

Так как выборочный коэффициент вычисляется по выборочным данным, то он является случайной величиной. Если , то возникает вопрос: объясняется ли это действительно существующей линейной связью междуиили вызвано случайными факторами?

Проверим нулевую гипотезу о том, что в генеральной совокупности отсутствует корреляция :, а отличие от нуля выборочного коэффициента корреляции объясняется только случайностью выборки.

Альтернативная гипотеза может быть одной из видов: двусторонней :(если не известен знак корреляции); или односторонней:или:(если знак корреляции может быть заранее определен).

Способ 1. Для проверки гипотезы используется -критерий Стьюдента. Вычисляется эмпирическое значение -критерия Стьюдента по формуле

,

где - выборочный коэффициент корреляции,- объем выборки.

Вычисленное эмпирическое значение сравнивается с найденным по таблице критическим значениемпри выбранном уровне значимостии числе степеней свободыдля двустороннего критерия.

Критическая область задается неравенством .

Если , то принимается нулевая гипотеза. Значит, в генеральной совокупностиотсутствует значимая корреляция, а отличие от нуля выборочного коэффициента корреляции объясняется только случайностью выборки.

Если , то нулевая гипотеза отклоняется. Делаем выводы:

• для двусторонней альтернативной гипотезы – коэффициент корреляции значимо отличается от нуля;

• для односторонней гипотезы – существует статистически значимая положительная (или отрицательная) корреляция.

Способ 2. Можно воспользоваться также таблицей критических значений коэффициента корреляции, из которой находим величину критического значения коэффициента корреляции по числу степеней свободыи уровню значимости.

Если , то в генеральной совокупностиотсутствует значимая корреляция между исследуемыми признаками, а отличие от нуля выборочного коэффициента корреляции объясняется только случайностью выборки либо объем выборки недостаточен для выявления линейной связи.

Если же , то делается вывод, что коэффициент корреляции значимо отличатся от 0 исуществует статистически значимая корреляция.

Так, одни явления могут одновременно, но независимо друг от друга (совместные события) происходить или изменяться (ложная регрессия). Другие – находиться в причинной зависимости не друг с другом, а по более сложной причинно-следственной связи (косвенная регрессия). Таким образом, при значимом коэффициенте корреляции окончательный вывод о наличии причинно-следственной связи можно сделать только с учетом специфики исследуемой проблемы.

Пример 2. Определить значимость выборочного коэффициента корреляции, вычисленного в примере 1.

Решение.

Выдвинем гипотезу :о том, что в генеральной совокупности отсутствует корреляция. Так как знак корреляции в результате решения примера 1 определен – корреляция положительна, то альтернативная гипотеза является односторонней вида:.

Найдем эмпирическое значение -критерия:

Число степеней свободы равно , уровень значимости выберем равным . По таблице «Критические значения-критерия Стьюдента при различных уровнях значимости» находим критическое значение.

Так как , то между уровнеми средним уровнем успеваемости по математике существует статистически значимая корреляция.