2. Задачи корреляционного анализа

Корреляционным анализомназывается раздел математической статистики, исследующий зависимость между случайными величинами с помощью выборочных оценок генеральных коэффициентов корреляции.

Корреляционный анализсостоит в определении степени тесноты корреляционной связи между переменными и количественной оценке тесноты этой связи. Корреляционный анализ следует применять только в том случае, если данные наблюдений или эксперимента можно считатьслучайнымии выбранными изнормальнойсовокупности.

Перечислим задачикорреляционного анализа.

1.Установление направления корреляционной связи.

уу у

х х х

Положительная корреляция Отрицательная корреляция Нет корреляции

2.Установление формы связи(линейная, нелинейная).

3.Измерение тесноты связис помощью ее количественной оценки –коэффициента корреляции.

4.Проверка значимости коэффициента корреляции, который выступает мерой связи между случайными величинами.

Отметим особенности корреляционной связи.

1. Корреляционная связь не может рассматриваться как свидетельство причинно-следственной зависимости. Она свидетельствует лишь о том, что изменения одного признака, как правило, сопровождаются определенными изменениями другого, то есть отражает согласованныеизмененияпризнаков, которые могут объясняться множеством причин, в том числе зависимостью обоих признаков от третьего признака или сочетания других признаков.

2. Корреляционная связь не дает ответа на вопрос, где находитсяпричина изменений– в одном из признаков или за пределами исследуемой пары признаков.

3. Выборочный коэффициент линейной корреляции

Поставим вопрос: как оценить направление и силулинейной корреляционной связи с помощью коэффициента корреляции?

Для генеральной совокупности коэффициент корреляции, как правило, неизвестен, поэтому он оцениваетсяпо экспериментальным данным, представляющим собой выборку объемапар значений, полученную при измерении двух признаков.

Коэффициент корреляции, определяемый по выборочным данным, называется выборочным коэффициентом корреляциии обозначается символом.

Если связь между признаками имеет линейный характер, то коэффициент корреляции называется коэффициентом линейной корреляции Пирсона. Для оценки тесноты нелинейной связи служит корреляционное отношение.

Приведем формулу для вычисления выборочного коэффициента линейной корреляции:

,

где ,,- выборочные средние;

,- выборочные средние квадратические отклонения.

4. Свойства выборочного коэффициента корреляции

1. Коэффициент корреляции является безразмерной величиной и его значение не зависит от единиц измерения признаков и. Коэффициент линейной корреляции принимает значения на отрезке от (-1) до (+1), т.е.

.

2. Направление взаимосвязи. Если , то корреляционная связь между переменнымиположительная: большему значению одной переменной соответствует в среднем большее значение другой переменной. Если , то корреляционная связь между переменнымиотрицательная: большему значению одной переменной соответствует в среднем меньшее значение другой переменной.

3. Форма связи. По форме зависимость признаков может быть линейной или нелинейной. Если коэффициент линейной корреляции Пирсона по модулю близок к 1, то это соответствует высокому уровню линейной связи между переменными.

4. Теснота связи. В зависимости от того, насколько приближается к 1, различают сильную, умеренную и слабую связь.

Если коэффициент корреляции по абсолютной величине больше 0,95, то принято считать, что между переменными существует тесная линейная зависимость.

Если величина лежит в диапазоне от 0,7 до 0,95, то говорят осильной линейной связи между переменными.

Если , говорят осредней линейной связи.

Если , говорят обумеренной линейной связи.

Если , говорят ослабой линейной связи.

При считают, чтолинейная связь очень слабая или линейную взаимосвязь между переменными выявить не удалось.

При значении коэффициента корреляции, очень близком к 0, линейная связь между двумя выборками отсутствует, но может быть нелинейная форма корреляционной связи.

Вопросы для обсуждения.

Согласны ли вы, что:

1) выборочный коэффициент корреляции показывает, что связь между Х и У можно охарактеризовать как функциональную зависимость?

2) если выборочный коэффициент корреляции двух признаков близок по абсолютной величине к нулю, то между исследуемыми признаками отсутствует значимая линейная корреляция?

3) если выборочный коэффициент линейной корреляции , то большему значению одного признака всегда соответствует большее значение другого признака?