§13. Гармонічні коливання. Диференціальне рівняння гармонічних коливань

Коливанням називається всякий рух або зміна стану тіла, що характеризується тим чи іншим ступенем повторюваності в часі значень фізичних величин, які визначають цей рух або стан тіла.

Коливання називаються періодичними, якщо значення фізичних величин, які змінюються в процесі коливань, повторюються через однакові проміжки часу. Найпростішим типом періодичних коливань є так званігармонічні коливання– коливання, при яких значення фізичної величини змінюється з часом за законом косинуса (синуса).

Коливання називаються вільними або власними, якщо вони здійснюються за рахунок енергії, яка була надана, за відсут­ності в наступному зовнішніх періодичних впливів на коливну систему.

Нехай матеріальна точка здійснює вільні гармонічні коливання вздовж осі координат біля положення рівноваги, яке прийняте за початок координат. Тоді залежність координатихвід часузадається рівнянням

.

тут x– зміщення коливної точки;– амплітуда коливання;– власна циклічна частота;– початкова фаза коливань в момент часу;– фаза коливань в момент часуt.

Найменший проміжок часу Т, після проходження якого повторюються значен­ня всіх фізичних величин, що характери­зують коливання, називаєтьсяперіодом коливання. За часТздійснюється одне повне коливання і фаза коливань отримує приріст, тобто

.

Звідси

.

Частотою коливаньназивається кількість повних коливань, що здійсню­ються за одиницю часу:

,

де N– кількість коливань, виконаних за часt. Частота коливань – величина, яка обернена до періоду коливань:

.

Циклічна частота

.

Отже, циклічна частота дорівнює кількості повних коливань, що здійснюєть­ся за 2 с.

Коливальний процес характеризується швидкістю і прискоренням коливної точки:

,

,

де – амплітуда швидкості,– амплітуда прискорення. Зміщення, швидкість і прискорення точки, що гармонічно коливається, є періодичними функціями часу з однаковими циклічною частотою і періодомТ. Фаза швидкості відрізняється від фази зміщення на, а фаза прискорення відрізняється від фази зміщення на(рис. 23).

В моменти часу, коли , швидкістьнабуває найбільшого значення, коли ждосягає максимального від’єм­ного значення, то прискореннянабуває найбільше додатне значення.

Прискорення завжди напрямлене до положення рівноваги: віддаляючись від положення рівноваги, коливна точка руха­ється сповільнено, наближаючись до нього – прискорено. Прискорення прямо пропор­ційне до зміщення, а його напрямок проти­лежний до напрямку зміщення.

Другий закон Ньютона дає змогу в загальному вигляді записати зв’язок між силою і прискоренням для вільних гармонічних коливань матеріальної точки з масою :

.

Сила, що діє на коливну матеріальну точку прямо пропорційна до зміщення і завжди напрямлена до положення рівноваги. Тому її називають повертальною силою. Фаза сили збігається з фазою прискорення.

Прикладом сил, що задовольняють співвідношення , є пружні сили. Сили, що мають іншу природу, ніж пружні сили, але також задовольняють умову, називаються квазіпружними, а– коефіцієнтом квазі­пружної сили.

Для вільних гармонічних коливань вздовж осі OXприскорення. Тоді

,

і

,

Це диференціальне рівняння вільних гармонічних коливань, збуджених пружними або квазіпружними силами.

Загальними розв’язками цього диференціального рівняння є функції:

або .

Кінетична енергіяматеріальної точки, що здійснює гармонічні коливання, дорівнює:

.

Потенціальна енергіяматеріальної точки, що здійснює гармонічні коливання під дією квазіпружної сили, дорівнює:

.

Кінетична і потенціальна енергії здійснюють гармонічні коливання з цик­лічною частотою і амплітудоюбіля середнього значення.

Повна механічна енергія коливної точки:

.

Графіки залежностей ,івід часудля випадкунаведено на рис. 24.

Квазіпружна сила є консерватив­ною. Тому повна енергія гармонічного ко­ливання залишається сталою. У процесі коливання відбувається перетворення кіне­тичної енергії в потенціальну і навпаки. В момент найбільшого відхилення точки від положення рівноваги повна енергія склада­ється лише з потенціальної енергії. При проходженні точки через положення рів­новаги повна енергія складається лише з кінетичної енергії, яка в цей момент є мак­симальною.