§11. Рівняння динаміки обертального руху твердого тіла відносно нерухомої осі. Кінетична енергія тіла, що обертається

Розглянемо обертання абсолютно твердого тіла, яке закріплене в одній нерухомій точці О.

Щоб отримати співвідношення між моментом імпульсу і моментом сили, продиференціюємо за часом правий і лівий бік виразу

.

Тоді отримуємо

.

Оскільки , то

.

Враховуючи, що

,

отримуємо рівняння, що визначає закон зміни моменту імпульсу

,

де - момент імпульсу тіла відносно точкиО, а- головний момент зовнішніх сил відносно точкиО.

Швидкість зміни моменту імпульсу тіла, що обертається навколо нерухомої точки, дорівнює головному моменту відносно цієї точки всіх зовнішніх сил, які прикладені до тіла.

Спроектуємо вектори рівняння на довільну вісьZ, що проходить через точкуО. Тоді

,

де і- проекції на вісьОZобертання тіла векторів моменту імпульсу тіла і результуючого моменту зовнішніх сил відносно точкиО. Це рівняння динаміки тіла, що обертається навколо нерухомої осі.

Отже, швидкість зміни моменту імпульсу тіла відносно нерухомої осі обер­тання дорівнює головному моменту всіх зовнішніх сил, що діють на тіло, відносно цієї осі.

Враховуючи, що , отримуємо

.

Якщо тіло абсолютно тверде, то його момент інерції не залежить від часу. Тому

і ,

де – проекція вектора кутового прискоренняна вісь обертанняOZ. Звідси кутове прискорення твердого тіла, яке обертається навколо нерухомої осіOZ, прямо пропорційне до головного моменту відносно цієї осі всіх зовнішніх сил, що діють на тіло, і обернено пропорційне до моменту інерції тіла відносно тієї самої осі.

Отже, момент інерції тіла є його мірою інертності при обертальному русі.

Момент зовнішніх сил вважається додатним, якщо ці сили спричиняють збільшення кутової швидкості обертання тіла. Якщо, тоі кутова швидкість твердого тіла стала.

Кінетична енергія тіла, що рухається довільно, дорівнює сумі кінетичних енергій всіх nматеріальних точок, на які це тіло можна умовно поділити:

.

Якщо тіло обертається навколо нерухомої осі OZз кутовою швидкістю, то

,

де - відстань від цієї точки до осі обертання. Отже,

.

Якщо тверде тіло рухається поступально з швидкістю і одночасно обертається з кутовою швидкістюнавколо осі, що проходить через його центр інерції, то його кінетична енергія

.

Знайдемо роботу, яку виконує зовнішня сила при обертанні твердого тіла. За малий час точка масою(рис. 18) здійснює переміщення

,

де – вектор елементарного повороту тіла за час. При цьому сила, яка прикладена до тіла, виконує елементарну роботу

.

Оскільки вектори івзаємно ортогональні, тоі

.

Елементарна робота, яка виконується зовнішньою силою при обертанні тіла,

.

§12. Закон збереження моменту імпульсу

Закон збереження моменту ім­пульсу випливає із закону зміни моменту імпульсу тіла, закріпленого в нерухомій точці, і полягає в такому:

якщо головний момент зовнішніх сил відносно нерухомої точки, прикладених до тіла, тотожно дорівнює нулю, то момент імпульсу тіла відносно цієї точки з плином часу не змінюється.

Якщо , тоі.

Цей закон справедливий і для системи тіл. На замкнену систему тіл зовнішні сили взагалі не діють. Тому результуючий момент цих сил відносно будь-якої нерухомої точки тотожно дорівнює нулю. Отже, момент імпульсу замкненої системи тіл відносно будь-якої нерухомої точки сталий у часі.

З рівняння динаміки тіла, що обертається навколо нерухомої осі OZ, випливаєзакон збереження моменту імпульсу тіла відносно цієї осі:

якщо момент зовнішніх сил відносно нерухомої осі обертання тіла тотожно дорівнює нулю, то момент імпульсу тіла відносно цієї осі не змінюється під час руху:

і ,,

або

,

де – кутова швидкість тіла,– його момент інерції відносно осі обертання.

Отримане співвідношення наочно ілюструється за до­помогою лави Жуковського – круглої платформи, яка може обертатися з малим тертям відносно вертикальної осі (рис. 22). Якщо гантелі наближаються до осі обертання, то момент інерції системи зменшується, а кутова швидкість збільшується; при віддаленні гантелей від осі обертання кутова швидкість обертання зменшується (І2>І1; ω2<ω1).

Закон збереження моменту імпульсу – фундаментальний закон природи. Він зв’язаний з певними властивостями симетрії простору – його ізотропністю, тобто з інваріантністю фізичних законів відносно вибору напрямку осей координат системи відліку.