Елементи фізики твердого тіла

X. Елементи фізики твердого тіла §137. Поняття про квантові статистики Бозе-Ейнштейна і Фермі-Дірака

Властивості твердих тіл можна пояснити на основі квантової статистики– розділу статистичної фізики, який дос­ліджує системи з великого числа частинок, які підпорядковуються законам квантової механіки.

В основу квантової статистики покладено два принципи, які не мають нічого спільного з уявленнями класичної фізики:

Принцип тотожності, або принцип нерозрізненості мікрочастинок: всі однакові частинки (наприклад, всі електрони в металі, всі протони в ядрах атомів) принципово не відрізняються одна від одної;

Принцип Паулі(справедливий лише для ферміонів): у кожному квантовому стані не може перебувати більш як одна частинка.

Основна задача квантових статистик полягає в знаходженні функції розподілу частинок системи за тими чи іншими параметрами – координатами, імпульсами, енергіями і т.д., а також у розрахунку середніх значень цих параметрів, що характеризують макроскопічний стан всієї системи частинок.

Для цього введемо повну статистичну функцію розподілу , яка визначає кількість частинок з енергією відEдоE+dEв системі, стан якої описується певними термодинамічними пара­метрами.

Повну статистичну функцію розподілу можна подати у вигляді добутку числа станів , що припадають на інтервал енергіїdE, на функцію розподілуf(E):

.

Функція розподілувизначає ймовірність заповнення частинками станів, що припадають на інтервал енергіїdE. Якщо, наприклад, на100близько розміщених станів припадає в середньому10частинок, то ймовірність заповнення цих станів. Оскільки на кожний стан припадає в середньому0,1частинки, то можна трактувати як середню кількість частинок, що знаходяться в даному стані:

.

Отже, щоб знайти повну функцію розподілу, необхідно розрахувати функції і.

Нехай система складається із Nчастинок. Введемо в розгляд багатомірний простір всіх координат й імпульсів частинок системи. Стан кожної частинки визначається трьома координатамиx, y, zі трьома відповідними проекціями імпульсу,,. Тоді стан системи з Nчастинок визначається заданням6Nзмінних. Цей6N-мірний простір називаєтьсяфазовим простором. Кожному мікростану системи відповідає точка в6N-мірному фазовому просторі. Величина

називається елементом об’єму фазового простору. Тут - елемент об’єму простору координат,= =- елемент об’єму простору імпульсів. Беручи до уваги співвідношення невизначеностей Гейзенберга, елементарний об’ємне може бути меншим від:, деh– стала Планка.

Для вільних мікрочастинок, які не взаємодіють і на які не діють зовнішні поля, і елемент тримірного простору імпульсів дорівнює

.

Обчислимочисло станів мікрочастинки в інтервалі енергій відEдоE+dE. Для цього проведемо в просторі імпульсів дві сфери радіусамиPтаP+dP (рис. 348). Між цими сферами знаходиться шаровий проміжок, що має об’єм. Число елементарних фазових комірок, що знаходяться в цьому шарі, дорівнює:

.

Оскільки кожній комірці відповідає один стан мікрочастинки, то число станів, що припадає на інтервал dP, що знаходиться міжPіP+dP, дорівнює:

.

Для вільних частинок

, .

Звідси

, .

Тоді число станів мікрочастинки в інтервалі енергій dE,що знаходиться міжE таE+dE:

.

Поділивши праву і ліву частини цього співвідношення на dE, отримаємогустину станів g(E),що виражає кількість станів мікрочастинки, що міститься в одиничному інтервалі енергії:

.

У випадку електронів кожній фазовій комірці відповідають два стани, що відрізняються один від одного напрямками спіну. Тому для електронів

,

.

З’ясуємо тепер, який вигляд може мати функція розподілу , яка визначає ймовірність заповнення частинками станів.

При розгляді принципу нерозрізненості тотожних частинок було встановлено, що залежно від симетрії хвильової функції всі елементарні частинки діляться на два класи:

• частинки з півцілим спіном – ферміони

• частинки з цілим спіном – бозони.

В кожній комірці (в кожному кван­товому стані) не може бути більше одного ферміона з даним повним набором квантових чисел або двох з антипаралельними спінами, а число бозонів в комірці може бути довільним.

Ідеальний газ із ферміонів – фермі-газ – описується квантовою статистикою Фермі-Дірака.Функція розподілу ферміонів за станами з різною енергією має такий вигляд:

.

Цей вираз називається функцією розподілу Фермі-Дірака. Тут– хімічний потенціал. Він визначає зміну внут­рішньої енергії системи при додаванні до неї однієї частинки за умови, що всі інші величини, від яких залежить внутрішня енергія, фіксовані.

Величина дорівнює середньому числуферміонів, що знаходяться в стані з енергією. Тому

.

Ідеальний газ із бозонів - бозе-газ – описують квантовою статистикою Бозе-Ейнштейна. Розподіл бозонів за енергіями випливає із так званого великого канонічного розподілу Гіббса (із змінною кількістю частинок) при умові, що кількість тотожних бозонів у даному квантовому стані може бути довільною:

.

Цей розподіл називається розподілом Бозе-Ейнштейна. Значення хімічного потенціалузнаходять з умови, що сума всіхдорівнює повній кількостіNчастинок в системі:

.

Зформули Бозе-Ейнштейна і з безпосередньої вимогивидно, що хімічний потенціал бозе-газу не більший від нуля:, бо тільки при цій умові експонента в знаменнику розподілу не буде меншою від одиниці навіть приi=0.

Якщо ,

то розподіл Бозе-Ейнштейна і Фермі-Дірака переходять у класичний розподіл Максвелла-Больцмана:

, де .

Отже, при великих температурах обидва „квантові” гази ведуть себе так, як класичний ідеальний газ.

Система частинокназиваєтьсяви­родженою, якщо її властивості істотно відрізняються від властивостей систем, що підпорядковуються класичній статистиці. Поведінка як бозе-газу, так і фермі-газу відрізняється від класичного газу, вони є виродженими газами. Виродження газу стає істотним при досить низьких температурах і великих густинах. Параметром виродження називається величинаА. При, тобто при малому ступені виродження розподіли Бозе-Ейнштейна і Фермі-Дірака переходять в класичний розподіл Максвелла-Больцмана.

Температурою виродження називається температура, нижче якої проявляються квантові властивості ідеального газу, зумовлені тотожністю частинок, тобто– температура, при якій виродження стає істотним.

Якщо , то поведінка системи частинок описується класично.