§138. Розподіл електронів провідності в металі за енергіями. Енергія Фермі

Метал для вільних електронів є своєрідною потенціальною ямою, вихід з якої вимагає затрати енергії на подолання сил зв’язку, що ут­римують електрони в металі. На рис. 349 наведена схема такої потенціальної ями. Горизонтальними лі­ніями показані енергетичні рівні, які можуть займати електрони. Розподіл електронів на різних енергетичних рівнях здійснюється за принципом Паулі, згідно з яким на одному рівні не може бути двох або більше однакових (з однаковим набором чотирьох квантових чисел) електронів, вони повинні відрізнятися якоюсь характеристикою, наприклад, напрямком спіну. Отже, за квантовою теорією, електрони в металі не можуть розміщуватися на найнижчому енергетичному рівні навіть при температурі Т=0 K. Принцип Паулі вимушує електрони підніматися вгору по „енергетичній драбині”. Якщо електронний газ міститьNелектронів, то останнім зайнятим виявиться рівень.

Найвищий енергетичний рівень, зайнятий електронами, при Т=0 K називається рівнем Фермі для виродженого електронного газу.

Рівень Фермі відповідає максималь­ній кінетичній енергії , яку може мати електрон в металі при абсолютному нулі. Її називаютьенергією Фермі.

Рівень Фермі буде тим вищим, чим більша густина електронного газу. Роботу виходу електрона з металу треба відраховувати не від дна потенціальної ями, як це робилось в класичній теорії, а від рівня Фермі.

Електрони провідності в металі можна розглядати як ідеальний газ, що описується розподілом Фермі-Дірака. Середнє число електронів у квантовому стані на енергетичному рівні з енергієюЕдорівнює

.

При абсолютному нулі всі стани з енергією зайняті електронами, стани з енергієювільні. Іншими словами, приT=0 Kймовірність заповнення електронами станів з енергієюдорівнює1, ймовірність заповнення станів з енергієюдорівнює нулю:

Щоб отримати цей результат з допомогою розподілу Фермі-Дірака, необхідно вважати, що при T=0 Kхімічний потенціал електронного газу, який відрахований від дна потенціальної ями, дорівнює енергії Фермі:

.

Тоді

.

Якщо , то приТ=0 K

і .

Якщо , то приТ=0 K

і .

На рис. 350 наведений графік функції розподілу Фермі-Дірака при абсолютному нулі. Він має вигляд сходинки, що обривається при

.

Повна функція розподілу Фермі-Дірака при абсолютному нулі (<N(E)>=1):

.

Інтегруючи цей вираз, отримаємо

.

Звідси визначаємо енергію Фермі :

,

де - концентрація електронного газу в металі.

Введемо температуру Фермі, яка визначається із співвідношення, деk– стала Больцмана. Вона показує, при якій температурі невироджений газ з масою молекул, що дорівнює масі електрона, мав би енергію теплового рухуkT, що дорівнює енергії Фермі. Для електронів в металі. Жоден метал при таких температурах не може існувати в твердому стані. Тому для всіх температур, при яких метал може існувати у твердому стані, електронний газ у металі – вироджений.

При температурі якщо, функція розподілу Фермі-Дірака. Отже, зі статистичної точки зору ймовірність заповнення рівня Фермі придорівнює.

При підвищенні температури елек­трони зазнають теплових збуджень і переходять на вищі енергетичні рівні, внаслідок чого змінюється характер їх розподілу за станами. При кімнатній температурі , а енергія ФерміE_F=3–10eB. В інтервалі температур, в якому енергіяkTтеплового руху значно менша, теплових збуджень можуть зазнавати електрони лише вузького прошаркуkT, розміщеного безпосередньо біля рівня Фермі (рис. 351). ЕнергіяkTтеплового руху недостатня для збудження елек­тронів глибоких рівнів.

В результаті теплового збудження частина електронів, що мають енергію, меншу , переходить на рівні з енергією, більшою від, встановлюється новий їх розподіл за станами. На рис. 352показані криві розподілу електронів за станами приT=0 K(крива1) і приT>0 K(крива2).

Підвищення температури викликає розмивання розподілу на глибину kTі появу „хвоста” розподілуBC, що розміщується правіше. У першому випадку середнє число електронів менше від одиниці, а в другому – більше від нуля. Чим вища температура, тим суттєвіше змінюється функція розподілу. Сам „хвіст”BCописується уже максвеллівським розподілом.

На рис. 352 заштриховані площі, пропорційні до кількості електронів , що покидають стани з енергією(площаABD) і що переходять на рівні, які розміщені вище(площаBC). За величиною ці площі рівні, оскільки вони виражають одне і те ж число електронів.

При кімнатній температурі , приТ=1000 K .

Тому у всьому діапазоні температур, в якому електронний газ в металі є виродженим, його розподіл мало відрізняється від розподілу при абсолютному нулі.

Якщо , то одиницею в знаменнику можна нехтувати порівняно з експонентою і тоді розподіл Фермі-Дірака переходить у розподіл Максвелла-Больцмана:

.

Отже, при , тобто при високих температурах до електронів в металі застосовна класична статистика, в той час коли, до них застосовна лише квантова статистика Фермі-Дірака.

Невиродженим електронним газом є сукупність вільних електронів у власних напівпровідників.