§6. Кінетична енергія механічної системи

Кінетичною енергією механічної системи називається енергія механічного руху цієї системи.

Сила , яка діє на тіло і викликає його рух, виконує роботу, а енергія рухомого тіла зростає на величину виконаної роботи:

.

Використовуючи скалярний запис другого закону Ньютона і помноживши обидві частини на елементарний шлях dS, отримаємо

.

Оскільки , то

і

.

Отже, кінетична енергія тіла, що рухається поступально дорівнює половині добутку маси цього тіла на квадрат його швидкості.

Проінтегруємо співвідношення вздовж деякої траєкторії від точки1до точки2в яких швидкість тілаівідповідно:

.

Звідси,

.

Отже, зміна кінетичної енергії тіла дорівнює роботі, яка виконується над тілом.

Кінетичній енергії тіла можна надати і такого вигляду:

,

де Р– імпульс тіла.

Кінетична енергія тіла не може бути від’ємною.

Повна кінетична енергія системи дорівнює сумі кінетичних енергійвсіх тіл, що входять до неї:

.

Кінетична енергія системи залежить від величини мас і швидкостей руху тіл, що входять до неї. При цьому неістотно, як тіло з масою набуло швидкості. Цей висновок можна сформулювати так:кінетична енергія системи є функцією стану її руху.

Швидкість істотно залежить від вибору системи відліку. В різних інерці­альних системах відліку, що рухаються одна відносно одної, швидкістьі-го тіла системи, а отже, його кінетична енергія системи будуть неоднакові.

Кінетична енергія системи залежить від вибору системи відліку, тобто є величиною відносною.

Якщо в інерціальній системі відліку (і.с.в.) К кінетична енергія системи дорівнює, то в і.с.в., яка рухається відносноК поступально з швидкістю, центра мас системи, то

,

де m – маса системи,- кінетична енергія системи відносно і.с.в..

Ця рівність описує теорему Кюніга: кінетична енергія механічної системи дорів­нює сумі кінетичної енергії цієї системи при її русі відносно і.с.в. , яка пос­тупально рухається з початком в центрі мас і кінетичної енергії, яку мала би матеріальна точка, що має масу, яка дорівнює масі всієї системи і рухається зі швидкістю її центра мас.

§7. Потенціальна енергія

Потенціальною енергією механічної системи називається енергія, яка залежить від її конфігурації, тобто від взаємного розміщення всіх матеріальних точок системи і характеру консервативних сил, які діють між точками.

Робота , що виконується консервативними силами при зміні конфігурації системи, не залежить від того, як здійснюється процес переходу з початкової конфігурації системи (1) в кінцеву (2). Роботаповністю визначається початковою і кінцевою конфігураціями системи. Отже, роботуможна подати у вигляді різниці значень деякої функції конфігурації системи, яка називається потенціальною енергією системи:

.

Робота потенціальних сил дорівнює зменшенню потенціальної енергії системи. Відповідно елементарна робота консервативних сил при малій зміні конфігурації системи

, або .

Звідси потенціальна енергія

,

де С– стала інтегрування, тобто потенці­альна енергія визначається з точністю до деякої довільної сталої. Це не відбивається на фізичних законах, оскільки в них входить або різниця потенціальних енергій двох конфігурацій системи, або похідназа просторовими координатами. В кожній задачі для отримання однозначної залежності потенціальної енергії системи від її конфігурації вибирають нульову конфігурацію, в якій потенціальну енергію системи вважають такою, що дорівнює нулеві.

Якщо відомий вираз функції , то можна знайти силу, що діє на матеріальну точку. Розглянемо переміщення точки паралельно осіОХнаdх. Таке переміщення супроводжується виконанням над точкою роботи. Та сама робота дорівнює зменшенню потенціальної енергії:. Прирівнявши обидва вирази для роботи, отримаємо:

.

Звідси

(y=const, z=const).

Тут ураховано те, що похідна відносно xобчислюється при умові, що координатиyizзалишаються сталими.

Для компонент сил вздовж осей ОY iОZотримують аналогічні вирази. Отже,

, ,

або

.

Вектор

,

який побудований за допомогою скалярної функції , називається градієнтом функціїі позначаєтьсяgrad. Напрямок вектораgradзбігається з напрямком осіl, вздовж якої потенціальна енергія зростає з найбільшою швидкістю.

Отже,сила, що діє на матеріальну точку в потенціальному полі, дорівнює взятому із знаком мінус градієнту потенціальної енергії цієї точки:

.