§22. Рівняння нерозривності. Рівняння Бернуллі

Рух рідин називають течією, а сукупність частинок рухомої рідини –потоком.Течію рідини називаютьусталеною, абостаціонарною, якщо швидкість рідини у кожній точці простору, який займає рідина, не змінюється з часом.

Рух рідин зображають за допомогою ліній течії, які проводять так, що дотичні до них збігаються за напрямком з векторами швидкостей рідини у відповідних точках простору. Лінії течії вказують не тільки напрямок швидкостей, а й дають змогу зробити висновок про величину швидкості частинок в даному місці.

Зображаючи потік, лінії течії проводять так, щоб їх густина, тобто кількість ліній, які пронизують одиницю площі поверхні, що проведена в потоці перпендикулярно до лінії течії, числово дорівнювала б швидкості частинок потоку в даному перерізі.

Поверхню, утворену лініями течії, проведеними через усі точки малого зам­кненого контуру, називають трубкою течії. Частину рідини, обмежену трубкою течії, називають струменем.

При стаціонарній течії частинки рухаються так, що кожна з них весь час залишається в межах певної струмини.

Розглянемо трубку течії, настільки тонку, що в кожному її перерізі швидкість можна вважати постійною (рис. 49). Виберемо довільно два перерізи, площі яких дорівнюють іі перпендикулярні до напрямку швидкості, відповідно,і. За одиницю часу через перерізпротече об’єм рідини, який дорівнює, а через переріз-. Якщо рідина нестискувальна (, де- густина рідини), то за одиницю часу через перерізиіпротечуть однакові об’єми рідини:

.

Для нестискувальної рідини добуток площі довільного поперечного перерізу на швидкість течії в цьому перерізі має однакове значення:

.

Це співвідношення називається рівнянням нерозривності струменя.

З цього рівняння випливає, що під час стаціонарної течії швидкості руху частинок рідини через два довільних перерізи трубки обернено пропорційні площам цих перерізів. Найбільша швидкість рідини спостерігається у найвужчому місці трубки, а найменша – у найширшому.

Нехай по нахиленій трубці течії змінного перерізу рухається ідеальна рідина – рідина, в якій немає внутрішнього тертя – в напрямку зліва направо (рис. 50).

Умовно виділимо область трубки, обмежену перерізами і. Нехай в місці перерізушвидкість рідини, тискі висота, на якій розміщений цей переріз,. Аналогічно в місці перерізушвидкість рідини, тискі висота перерізу .

Визначимо зміну повної енергії, яка відбувається в цій області між перерізами іза час Δ t. За цей час маса рідини між перерізамиі втікає в область, а маса що знаходиться міжі , витікає з неї. Величина зміни повної енергії, яка є сумою кінетичної і потенціальної енергій маси Δ mрідини, дорівнює різниці повних енергій мас, які витікають і втікають,

:

.

За законом збереження енергії енергія ΔEдорівнює роботі зовнішніх сил, що переміщують масу Δ mрідини від перерізудо перерізу:

.

Робота Aдорівнює роботі, яка виконується при переміщенні всієї ділянки рідини, що знаходиться між перерізамиіпротягом такого часу Δ t, за який через ці перерізи буде перенесена маса рідини Δ m. Для перенесення маси рідини Δ mв місці розміщення перерізурідина повинна переміститися на відстань, а в місці перерізу– на відстань. Зазначимо, щоінастільки малі, що величини швидкості, тискуpі висотиhміж перерізами–і-є постійні. Сили, що діють на обидва кінці виділеної ділянки рідини, відповідно, дорівнюютьі. Сила– від’ємна, оскільки напрямлена в бік, протилежний до течії рідини.

Отже, робота зовнішніх сил із переміщення маси Δ m

.

За законом нерозривності струменя

.

В результаті

.

Враховуючи, що ΔE=A, отримуємо

.

Оскільки густина рідини , то отримуємо

.

Оскільки перерізи івибрані довільно, тому

.

Це співвідношення називається рівнянням Бернуллі. Величинаpназивається статич­ним тиском, величина– динамічним тиском, а величина– гідростатичним тиском.

Рівняння Бернуллі можна сформулювати так: в стаціонарному потоці ідеальної нестискувальної рідини сума ста­тичного, динамічного і гідростатичного тисків є сталою у довільному поперечному перерізі потоку.

Для трубки течії, яка розміщена горизонтально , рівняння Бернуллі має такий вигляд:

,

де називається повним тиском.

Із рівняння Бернуллі для горизонтальної трубки течії і рівняння нерозривності струменя видно, що при течії рідини в горизонтальній трубці, що має різні перерізи, швидкість рідини більша в місцях звуження трубки, а тиск більший в місцях, де площа поперечного перерізу трубки більша. Це твердження називається законом Бернуллі.