§14. Пружинний, математичний і фізичний маятники

Пружинний маятник– це тіло масою, яке підвішене на невагомій абсолютно пружній пружині і здійснює гар­монічні коливання під дією пружної сили, де– коефіцієнт пружності, який у випадку пружини називається жорсткістю (рис. 25). На тіло діє і сила тяжіння.

Запишемо основне рівняння динамі­ки для цього випадку:

,

де- статична деформація пружини під дією сила тяжінняmg.

Позначимо і, враховую­чи, що, боне залежить від часу, знайдемо рівняння руху тіла:

, .

де .

Отже, пружинний маятник здійснює вільні гармонічні коливання за законом

з власною циклічною частотою

і періодом

.

Період коливань Тне залежить від амплітудиА.

Ця формула справедлива для пруж­них коливань в межах, в яких виконується закон Гука, та коли маса пружини мала порівняно з масою тіла.

Потенціальна енергія пружинного маятника дорівнює:

,

а кінетична:

.

Математичним маятникомназивається матеріальна точка, яка підвішена на невагомій і нерозтяжній нитці. На практиці математичним маятником можна вважати важке тіло, яке підвішене на легенькій нитці, довжина якої набагато більша, ніж розміри тіла (рис. 26). Якщо відхилити маятник з положення рівноваги так, щоб нитка утворювала кутз вертикаллю, то він почне коливатися у вертикальній площині під дією сили тяжіння.

Сила, що повертає математичний маятник у положення рівноваги, є складо­вою його сили тяжіння :

.

Складова зрівноважується си­лою натягу нитки.

Для малих кутів відхилення можна замінити кутом, а дугу, вздовж якої рухається маятник, можна вважати відрізком прямої. Силу що повертає маят­ник до положення рівноваги, можна вва­жати квазіпружною силою:

.

Отже, малі коливання математично­го маятника – гармонічні.

Період цих коливань дорівнює:

.

Період малих коливань математич­ного маятника не залежить від амплітуди коливань.

Математичний маятник зберігає площину, в якій він коливається.

Спостереження над коливаннями маятників використовуються для визна­чення прискорення сили тяжіння.

Фізичний маятник – абсолютно тверде тіло, що здійснює коливання під дією сили тяжіння навколо горизонтальної осіО, яка не проходить через його центр масС(рис. 27).

Нехай маятник відхилено з положення рівноваги на невеликий кут. Складова сили тяжіння маятника, напрямлена вздовж осі, зрівноважується реакцією осі. Складова, яка перпендикулярна до, намагається повернути маятник у положення рівноваги.

Відповідно до рівняння динаміки обертального руху твердого тіла момент Мобертальної силиможна записати у вигляді:

,

де J- момент інерції маятника відносно осі, що проходить через точкуO,l- відстань між точкою підвісу і центром мас маятника,відповідає малим коливанням маятника. Тоді

або .

Позначивши

,

отримаємо рівняння

.

Розв’язок цього рівняння такий:

.

При малих коливаннях фізичний маятник здійснює гармонічні коливання з частотою і періодом

,

де - зведена довжина фізичного маятника.

Точка на продовженні прямоїОС, що знаходиться від осі підвісу на від­стані зведеної довжиниL, називається центром гойдання фізичного маятника.

Точка підвісу Oі центр гойданнямають властивість спряженості: якщо вісь підвісу проходить через центр гойдання, то точкаOпопередньої осі підвісу стане новим центром гойдання і період гойдання фізичного маятника не зміниться.

За теоремою Штейнера маємо:

,

де - момент інерцій маятника відносно осі, що проходить через центр мас. Отже,

, тому .

Порівнюючи формули

і ,

бачимо, що якщо зведена довжина фізичного маятника дорівняє довжиніматематичного маятника, то їх періоди коливань одинакові.

Отже, зведена довжина фізичного маятника – це довжина такого матема­тичного маятника, період коливання якого дорівнює періоду коливань даного фізич­ного маятника.

Формулу для періоду Тматематичного маятника можна отримати з виразу

,

якщо розглядати математичний маятник як окремий випадок фізичного, в якому вся маса зосереджена в центрі мас Cна віддаліLвід підвісу, що дорівнює довжиніlнитки математичного маятника. Тодіі маємо. В загальному випадку період коливань математичного маятника визначається формулою:

,

де - максимальний кут відхилення маятника.