Тимошенко степан прокопович

(1878-1972)

Опублікував наукову працю „До питання про явища резонансу у валах”, в якій ідею наближеного розрахунку частот коливань застосував для розрахунку вала з кількома дисками по довжині.

§19. Утворення хвиль в пружному середовищі. Поздовжні і поперечні хвилі. Рівняння біжучої хвилі

Розглянемо пружне середовище,між частинками якого існують сили взаємодії, що перешкоджають тому або іншому виду його деформації. Тіло, яке коливається в пружному середовищі, періодично діє на прилеглі до нього частинки середовища, виводячи їх з положення рівноваги і змушуючи здійснювати вимушені коливання. При цьому середовище поблизу тіла деформується і в ньому виникають пружні сили. Ці сили діють як на прилеглі до тіла частинки, намагаючись повернути їх у положення рівноваги, так і на віддаленіші від тіла частинки, виводячи їх з положення рівноваги. Віддаленіші від тіла області середовища поступово втягуються в коливальний рух.

Процес поширення коливань в су­цільному середовищі, яке неперервно розподілене в просторі і має пружні властивості, називається механічним хвильовим процесом, або механічною хвилею.

При поширенні хвилі частинки середовища не рухаються разом з хвилею, а коливаються біля своїх положень рівноваги. Основна властивість всіх хвиль є перенесення енергії без перенесення речовини.

Пружними (або механічними) хвилями називаються механічні збурення, що поширюються у пружному середовищі. Пружні хвилі бувають поперечні і поздовжні.

У поперечниххвилях частинки середовища коливаються в площинах, які перпендикулярні до напрямку поширення хвилі (рис. 41а). Поперечні хвилі можуть поширюватись в середовищі, в якому виникають пружні сили при деформації зсуву, тобто лише у твердих тілах.

У поздовжніххвилях частинки коливаються в напрямку поширення хвилі (рис. 41б). Ці хвилі можуть поширюватись в середовищах, в яких виникають пружні сили при деформації стиску і розтягу, тобто у твердих, рідких і газоподібних тілах.

Пружна хвиляназиваєтьсягармонічною, якщо відповідні їй коливання частинок середовища є гармонічними.

Нехай поперечна гармонічна хвиля поширюється вздовж осі ОХ.

На рис. 42 наведена гармонічна хвиля (поперечна або поздовжня), яка поширюється вздовж осі ОХзі швидкістю, тобто наведена залежність зміщеньвсіх частинок середовища, що беруть участь у хвильовому процесі, від відстаніxцих частинок від джерела коливаньOдля якогось фіксованого моменту часу.

Відстань між найближчими частинками, що коливаються однаковим чином, називається довжиною хвилі. Довжина хвилі дорівнює тій відстані, на яку поширюється певна фаза коливань за період:

і .

Нехай точка, від якої йдуть коливання, коливається в суцільному середовищі. Коливання поширюються від центра у всі боки.

Поверхня, до якої доходять коливання в деякий момент часу, називається фронтом хвилі.

Фронт хвилі – це поверхня, яка відокремлює частину простору, уже залучену у хвильовий процес, від області, в якій коливання ще не виникли.

Поверхня, в якій всі частинки коливаються з однаковими фазами, називається хвильовою.

Хвильову поверхню можна провести через довільну точку простору, який охоплений хвильовим процесом. Отже, хвильових поверхонь існує нескінченна множина, а хвильовий фронт в кожний момент часу лише один. Хвильові поверхні залишаються нерухомими, а хвильовий фронт весь час переміщується.

Хвильові поверхні можуть бути довільної форми.

Хвиляназиваєтьсяплоскою, якщо її хвильові поверхні мають вигляд площин, які паралельні до площини, що проходить через джерело хвиль.

Хвиляназиваєтьсясферичною, якщо її хвильові поверхні мають вигляд концентричних сфер. Центр цих сфер називається центром хвилі.

Напрямки, в яких поширюються коливання, називаються променями. В ізотропному середовищі промені перпендикулярні до фронту хвилі.

Поширення в пружному середовищі механічних збурень, збуджених джерелом хвиль, пов’язане з перенесенням хвилями енергії. Тому такі хвилі називаються біжучими хвилями.

Рівнянням хвилі називається вираз, який описує зміщення коливної частинки як функцію її рівноважних координат x, y, z і часу t.

Розглянемо плоску хвилю, яка поширюється вздовж осіOXі збуджується в площині(рис. 43). Нехай коливання в цій площині мають вигляд:

.

Знайдемо вигляд рівняння коливань частинок у площині, що відповідає довільному значенню x. Для того, щоб пройти шлях від площиниx=0до цієї площини, хвилі потрібен час, де– швидкість поширення хвилі. Отже, коливання частинок, що лежать у площиніx, будуть запізнюватись на часвід коливань частинок в площиніx=0, тобто матимуть вигляд:

.

Введемо величину, яка називається хвильовим числом:

.

Тоді рівняння біжучої плоскої хвилі, що поширюється вздовж осі, має такий вигляд:

,

де А– амплітуда коливань, яка називається амплітудою хвилі;– циклічна частота хвилі;– початкова фаза коливань в площині. Величинадорівнює фазі коливань в довільній площині з координатоюхі називається фазою плоскої хвилі.

Зафіксуємо певне значення фази:

.

Цей вираз визначає зв’язок між часом tі тим місцемx, в якому фаза має зафіксоване значення. Величинадає швидкість, з якою переміщається дане значення фази. Продиференціюємо вираз для фази:

.

Звідси

.

Отже, швидкість поширення хвилі є ніщо інше, як швидкість переміщення фази хвилі і її називаютьфазовою швид­кістю.

Якщо плоска хвиля поширюється в довільному напрямку, то рівняння хвилі

,

де – вектор, який дорівнює за модулем хвильовому числу і має напрям нор­малі до хвильової поверхні.

У випадку сферичної хвилі рівняння хвилі

,

де – відстань від центра хвилі до точки середовища, яка розглядається. У випадку сферичної хвилі навіть у середовищі, яке не поглинає енергію, амплітуда коливань не залишається постійною, а зменшується з відстанню за законом. Це співвідношення справедливе лише дляr, що значно більші за розміри джерела.

Рівняння довільної хвилі є розв’яз­ком рівняння, яке називаєтьсяхвильовим.

Для виведення цього рівняння використаємо рівняння плоскої хвилі, що поширюється в довільному напрямку:

.

Продиференціюємо цю функцію двічі за кожною змінною:

,

,

,

.

Додамо похідні:

.

Зіставимо цю суму з похідною за часом і врахуємо, що . Отже, поширення хвиль в однорідному ізотропному середовищі описуєтьсяхвильовим рівнянням– диференціальним рівнянням в частинних похідних:

або

,

де – фазова швидкість, а

–оператор Лапласа.