§21. Інтерференція хвиль. Рівняння стоячої хвилі

Якщо в середовищі є декілька джерел коливань, то хвилі, які поширюються від них, йдуть незалежно одна від одної і після взаємного перетину розходяться далі так, ніби такої зустрічі і не було. Це положення називається принципом суперпозиції.

В місцях зустрічі хвиль коливання середовища, які викликані кожною з хвиль, складаються одне з одним. Результат додавання (результуюча хвиля) залежить від співвідношення фаз, періодів і амплітуд хвиль, що накладаються. Узгод­жене проходження в часі і просторі де­кількох коливань або хвильових процесів пов’язується з поняттям когерентності.

Дві хвилі називаються когерент­ними, якщо мають однакову частоту і різниця їх фаз залишається сталою в часі.

Інтерференцією хвиль називається явище, яке відбувається при накладанні двох або кількох когерентних хвиль, при якому має місце стійке в часі їх взаємне підсилення в одних точках простору і ослаблення в інших в залежності від співвідношення між фазами цих хвиль.

Розглянемо накладання двох когерентних косинусоїдальних сферичних хвиль, які збуджуються точ­ковими джерелами і(рис. 45):

,

.

Амплітуда Aрезультуючої хвилі в точціMдорівнює

.

Оскільки для когерентних джерел різниця початкових фаз , то результат інтерференції двох хвиль в різних точках залежить від величини, яка називаєтьсягеометричною різницею ходу хвиль.

У точках, де

,

спостерігається інтерференційний максимум:амплітуда результуючого коливання

.

В точках, де

спостерігається інтерференційний мінімум:амплітуда результуючого коливання

.

–порядок інтерференційного максимуму або мінімуму.

Оскільки хвильове число , де – довжина хвилі в даному середовищі, то при різниці ходу хвиль

амплітуда результуючого коливання максимальна. Якщо , то ця умова набирає вигляду

.

Амплітуда результуючого коливання мінімальна в усіх точках, для яких

.

Якщо , то ця умова набирає вигляду

.

При інтерференції хвиль їхня енергія механічно не підсумовується. Інтерференція хвиль призводить до перерозподілу енергії коливань між сусідніми областями середовища.

На рис. 46 наведені дві системи хвиль, які інтерферують; гребені хвиль зображені суцільними лініями, западини -пунктирними.

У місцях перетину двох гребенів або двох западин розміщені максимуми коливань(), в місцях перетину гребенів і западин розміщені мінімуми().

Особливим випадком інтерференції є стоячі хвилі.

Стоячі хвилі – це хвилі, які утворюються при накладанні двох біжучих хвиль, що поширюються назустріч одна одній з однаковими частотами і ампулітудами.

Нехай дві плоскі хвилі поширюються назустріч одна одній вздовж осі ОХв середовищі без згасання. Рівняння цих хвиль

,

,

де – різниця фаз хвиль у точці(рис. 47).

Додавши ці рівняння і враховуючи, що , отримаєморівняння стоячої хвилі:

.

Множник показує, що в точках середовища виникає коливання з тією самою ж частотою, що і коливання зустрічних хвиль

Множник , який не залежить від часу, виражає амплітудурезультуючих хвиль, точніше – амплітуда як величина позитивна дорівнює абсолютному значенню цього множника:

.

Амплітуда результуючого коливання залежить від координати x, що визначає положення точок середовища.

У точках середовища, де

,

амплітуда досягає максимального значення2A. Точки, в якихмаксимальна, називаютьсяпучностями стоячої хвилі.

У точках середовища, де

. Ці точки називаються вузлами стоячої хвилі.Точки середовища, що знаходяться у вузлах, не коливаються. Виберемо початок відлікуxтак, щоб дорівнювало нулю. Тоді координати пучностей

,

а вузлів

.

Відстань між двома сусідніми пучностями отримаємо, якщо знайдемо різницю двох значень для двох послідовних значеньm:

,

тобто відстань між сусідніми пучностями дорівнює половині довжини тих хвиль, в результаті інтерференції яких утворюється дана стояча хвиля.

Відстані вузла від найближчої пучності дорівнює:

.

На рис. 48 наведено характер руху частинок середовища при встановленні в ньому поперечної стоячої хвилі через проміжки часу . Стрілками показано нап­рямки руху частинок, які викликані тією чи іншою хвилею. Світлими кружечками на рис. 48 позначені пучності, а темними – вузли.

Отже, в стоячій хвилі є ряд нерухомих вузлових точок, які розміщені на відстані півхвилі одна від одної. Частинки між вузлами коливаються з різними амплітудами, від нуля у вузлі до подвійної амплітуди у пучності. Всі частинки одночасно проходять через положення рівноваги і одночасно досягають максимальних відхилень, отже, коливаються в однакових фазах. В суміжному інтервалі між вузлами характер коливань такий самий, але фаза протилежна.

У стоячій хвилі енергія не переноситься – повна енергія коливань кожного елемента об’єму середовища, обмеженого сусіднім вузлом і пучністю, не залежить від часу. Вона лише переходить з кінетичної енергії в потенціальну енергію пружно деформованого середовища і навпаки. Відсутність перенесення енергії стоячою хвилею є результатом того, що падаюча і відбита хвилі, які утворюють цю стоячу хвилю, переносять енергію в рівних кількостях і в протилежних напрямках.