Остроградський михайло васильович

(1801-1862)

Розв’язав у 1826 р. задачу поширення хвиль на поверхні води.

§20. Енергія хвилі

Нехай в деякому середовищі поширюється в додатному напрямку осі OXплоска хвиля.

Визначимо зміну енергії малого об’єму dVпружного середовища, пов’язану з поширенням у середовищі плоскої хвилі. Оскільки об’ємdVдуже малий, то можна вважати, що всі частинки середовища, які містяться в цьому об’ємі, коливаються в одній фазі, так що їх швидкості однакові і. Тому кінетична енергія об’ємуdV, яка пов’язана з коли­вальним рухом,

.

Визначаючи роботу деформації об’єму dVсередовища під час хвильового руху, можна показати, що потенціальна енергіяоб’ємуdVсередовища дорівнює його кінетичній енергії:

.

Повна механічна енергія коливального руху об’єму dVдорівнює

.

Об’ємна густина енергіїхвиль у пружному середовищі

.

Густина енергії в кожний момент часу в різних точках простору різна. В одній і тій же точці густина енергії змінюється з часом за законом квадрату синуса. Середнє значення квадрата синуса дорівнює . Відповідно середнє за часом значення об’ємної густини енергій в кожній точці середовища дорівнює:

.

Поширення хвиль у пружному середовищі нерозривно пов’язане з процесом передавання енергії від одних ділянок середовища до інших. Саме тому при хвильовому русі об’ємна густина енергії коливань у кожній точці середовища змінюється в часі.

Об’ємна густина енергії

.

Швидкість u поширення енергії хвилі дорівнює швидкості переміщення в просторі поверхні, яка відповідає максимальному значенню об’ємної густини енергіїw. Рівняння поверхні має вигляд:

.

Продиференцюємо цей вираз

Звідси швидкість переміщення поверхні

Отже, швидкість поширення енергії хвилі збігається з фазовою швидкістю хвилі.

Для характеристики процесу перенесення енергії хвилями введемо поняття про потік енергії.

Потоком енергії крізь яку-небудь поверхню площею S називається фізична величина, яка числово дорівнює кількості енергії dE, яка передається через цю поверхню за одиницю часу:

.

Знайдемо потік енергії хвилі, що рухається з фазовою швидкістю , через площинуdS(рис. 44). За часdtхвиля перенесе енергію, що міститься всередині косого циліндра, об’єм якого

.

Тоді і потік енергії, деw– об’ємна густина енергії хвилі,– вектор площиниdS.

Для характеристики потоку енергії в різних точках простору вводиться век­торна величина , яка називається густиною потоку енергії.

Густина потоку енергії – векторна величина, яка напрямлена у бік поширення хвилі і числово дорівнює потоку енергії крізь одиницю площі dS поверхні, яка розташована перпендикулярно до напрямку поширення хвилі:

.

Оскільки швидкість – це вектор, модуль якого дорівнює фазовій швидкості хвилі, а напрямок збігається з напрямком поширення хвилі (і перенесення енергії), то

.

Вектор густини потоку енергії хвилі, який називається вектором Умова, дорівнює добутку вектора швидкості поширення енергії хвилі на величину її об’ємної густини.

Вектор в різних точках простору має неоднакові значення, а в даній точці простору змінюється з часом за законом квадрата синуса. Середнє значення вектора Умова:

.

Знаючи у всіх точках довільної поверхніS, можна обчислити потік енергії через цю поверхню:

.

Скалярна величинаІ, яка дорівнює модулю середнього значення вектора Умова, називаєтьсяінтенсивністю хвилі:

.

Інтенсивність хвилічислово до­рівнює енергії, яка переноситься хвилею за одиницю часу через одиницю площі по­верхні, яка перпендикулярна до напрямку поширення хвилі:

.

Інтенсивність синусоїдальної хвилі пропорційна до квадрата її амплітуди.