Фізичні основи механіки

I. Фізичні основи механіки §1. Швидкість і прискорення

Матеріальна точка, рухаючись, описує деяку лінію в просторі. Ця лінія називається траєкторією. Залежно від форми траєкторії рух може бути прямолінійним або криволінійним.

Розглянемо рух матеріальної точки вздовж довільної криволінійної траєкторії (рис. 1)

Положення точки, що рухається вздовж траєкторії будемо задавати радіус-вектором , який проведений в цю точку з точкиО, яка прийнята за початок координат. Оскільки декартові координати точки x, y,іzчислово збігаються з проекціями векторана осі координат, то має місце розкладання:

,

де ,,– одиничні вектори (орти) вздовж додатних напрямків осейOX, OY, OZ відповідно. Довжина кожного з ортів дорівнює

.

Нехай матеріальна точка в момент часу t знаходиться в положенніАз радіус-вектором. Через проміжок часуточка переміститься в положенняВз радіус-вектором.

Довжина ділянки траєкторії АВ, яка пройдена точкою з моменту початку відліку часу, називаєтьсядовжиною шляху S. Довжина шляху, пройденого матеріальною точкою, є скалярною функцією часуS=S(t).

Вектор , проведений з початкового положення рухомої точки в положення її в даний момент часу, називаєтьсявектором переміщення.

Щоб охарактеризувати рух матеріальної точки, вводять векторну фізичну величину – швидкість, яка характеризує не тільки швидкість руху частинки вздовж траєкторії, але й напрямок в якому рухається частинка в кожний момент часу.

Нехай матеріальна точка рухається по якійсь криволінійній траєкторії (рис. 2).

Вектором середньої швидкості руху точки в інтервалі часу відt до називається відношення приростурадіус-вектора точки за цей інтервал часу до його величини:

.

Вектор напрямлений так само як, тобто вздовж хордиАВ.

Якщо у виразі для перейти до границі при, то отримаємо вираз для миттєвої швидкостірухомої матеріальної точки в момент проходження її через положенняАтраєкторії:

.

Миттєва швидкість - векторна величина, яка дорівнює першій похідній радіус-вектора рухомої точки за часом.

Вектор швидкості напрямлений вздовж дотичної до траєкторії в сторону руху.

Продиференціюємо за часом вираз для радіус-вектора , враховуючи, що,,– сталі вектори. У результаті отримаємо вираз

.

Швидкість можна також подати у вигляді:

,

де ,,- проекції швидкості на координатні осі. Порівнюючи ці два вирази для, отримаємо:

, , .

Таким чином, проекції швидкості дорівнюють похідним відповідних координат за часом.

Модуль швидкості можна обчислити через проекції швидкості:

.

Числове значення миттєвої швидкості дорівнює першій похідній за часом від :

.

Якщо вираз проінтегрувати за часом в межах відtдо, то отримаємо довжину шляху, який пройдений точкою за час:

.

Довжина шляху, який пройдений точкою за проміжок часу від t₁ до t₂,

.

У випадку нерівномірного руху числове значення миттєвої швидкості стале і

.

У випадку нерівномірного руху век­тор швидкості змінюється і за величиною і за напрямком. Для характеристики зміни швидкості введемо поняття прискорення.

Нехай точка в положенні Ав момент часуtмає швидкість. За часtрухома точка перейде в положенняВі набуде швидкості(рис. 3), яка відмінна відяк за модулем, так і за напрямком і. Перенесемо векторв точкуВі знайдемо.

Середнім прискоренням нерівно­мірного руху в інтервалі часу від t до t+t називається вектор , який дорівнює відношенню приростувектора швидкості точки до проміжку часу  t:

.

Вектор збігається за напрямком з вектором зміни швидкості.

Миттєвим прискоренням точки в момент часу t називають векторну величину , яка дорівнює границі середнього прискорення, якщо:

.

Прискорення точки дорівнює першій похідній від її швидкості за часом.

Диференціюючи за часом співвідношення

,

отримаємо для прискорення вираз:

.

Це саме прискорення можна виразити через його проекції на координатні осі:

.

Порівнюючи ці два вирази для прискорення, випливає, що

, ,

Таким чином, проекції прискорення дорівнюють другим похідним за часом від відповідних координат.

Розкладемо вектор зміни швидкості на дві складові:ітак, щобВС=ВD=. Складовавизначає зміну швидкості лише за величиною: якщо рух рівномірний, тоі. Інша складоваіснує і при рівномірному русі, очевидно,в тому випадку, якщо рух тіла прямолінійний. Якщо кут, тоі векторстає перпендикулярним вектору швидкості. Таким чином, вектор прискорення можна зобразити у вигляді суми двох взаємно перпендикулярних векторів:

Величина називаєтьсятангенціальним прискоренням, яке характеризує зміну швидкості лише за величиною і напрямлене вздовж дотичної до траєкторії. Числове значення векторадорівнює:

.

Величина називається векторомнормального прискоренняі характеризує зміну швидкості лише за напрямком. Це прискорення завжди перпендикулярне до напрямку швидкості. Для його обчислення припустимо, що точкаВдосить близька до точкиА, томуможна вважати дугою кола радіусомR, при цьому за величиною ця дуга мало відрізняється від хордиАВ. З подібності трикутниківОАВіBDC отримаємо:

і .

Таким чином

.

Отже, повне прискорення матеріальної точки дорівнює векторній сумі її тангенціального і нормального прискорень (рис. 4):

.

Модуль прискорення точки

.

Напрямок повного прискорення визначається кутом між векторамиі. З рис. 4 видно, що:

.

Розглянемо рівнозмінний прямолінійний поступальний рух тіла вздовж осі ОХ.

Оскільки

,

то

і .

Враховуючи, що , отримуємо:

.

В результаті залежність від часу координати хбудь-якої точки має вигляд:

.

Тут і- значенняхів момент часуt=0.