2.7. Ламінарний рух рідини

2.7.1. Розподіл швидкості по горизонтальному перерізу труби

Розглянемо ламінарний рух рідини у трубопроводі (рис. 23а), в якому: r₀ – повний радіус, r – поточний радіус,  – дотична напруга,  – вектор швидкості, N – вектор підрахунку, який починається від стінки трубопроводу.

Виділимо з рівняння рівномірного руху (2.35) дотичну напругу

 ₀ = gJR.

Рис. 23. До виведення рівняння розподілу швидкості рідини по горизонтальному перерізу труби.

і з рівняння Ньютона для в’язкої рідини (1.24)

.

Прирівнявши праві частини цих рівнянь і замінивши dN на dr, отримаємо

. (2.36)

Оскільки для труби круглого перерізу гідравлічний радіус R =r/2, (2.36) можна записати у вигляді:

. (2.37)

Поділимо перемінні інтегрування й запишемо диференціальне рівняння:

, (2.38)

і, проінтегрувавши по радіусу і швидкості, отримаємо:

, звідки . (2.39)

Для визначення сталої інтегрування С необхідно, щоб функція швидкості дорівнювала нулю. При цьому rr₀.

. (2.40)

Підставивши (2.40) у (2.39), отримаємо формулу швидкості при ламінарному русі рідини:

. (2.41)

При r=r₀, тобто у центрі потоку, швидкість набуває максимального значення

. (2.42)

Якщо порівняти вираження з (2.41) і (2.42), то отримаємо

. (2.43)

(2.43) – математичне вираження закону Стокса, який характеризує розподіл швидкостей у перерізі трубопроводу при ламінарному русі.

2.7.2. Середня швидкість при ламінарному русі

Для практичних розрахунків необхідно знати середнє значення швидкості. Напишемо вираження для елементарної витрати рідини dQ, що проходить через елементарну площинку dS кільцевого перерізу з поточним радіусом r (рис. 23, б)

dQ = _rdS=_r 2rdr. (2.44)

Підставляючи у (2.44) вираження (2.41), отримаємо:

. (2.45)

Інтегруючи це рівняння по усій площі живого перерізу потоку, отримаємо повну витрату

. (2.46)

Середня швидкість

. (2.47)

Порівнюючи (2.47) з (2.42), бачимо, що при ламінарному русі рідини в круглій трубі середня швидкість складає половину від максимальної, тобто _сер = 0,5 _макс..

Формула (2.46) була вперше отримана доктором медицини Пуазейлем у 1840 р.

2.7.3. Втрати напору при русі рідини

Враховуючи, що J = h : l, вираження (2.47) запишемо у вигляді:

. (2.48)

З розгляду залежності (2.48) випливає, що у випадку ламінарного руху втрати напору h_l прямо пропорційні середній швидкості  у першій степені.

Опір руху рідини в каналах при ламінарному русі розраховують за рівнянням, яке можна отримати шляхом перетворення основного рівняння ламінарного руху рідини (2.48), помноживши та поділивши його праву частину на 2.

.

звідки втрата напору на тертя для каналу круглого перерізу

. (2.49)

Позначимо - коефіцієнт тертя, який називають коефіцієнтом Дарси. Цей коефіцієнт враховує втрату напору на тертя по довжині трубопроводу будь-якого перерізу. КоефіцієнтА характеризує форму перерізу каналу: для круглого перерізу А=64, квадратного А=57, кільцевого А=96.

Формулу (2.49) можна записати з урахуванням коефіцієнта тертя в такому вигляді:

(2.50)

Ця формула носить назву Дарси-Вейсбаха.