2.3. Диференціальне рівняння Нав’є – Стокса

При русі реальної (в’язкої) рідини в потоці діють сили: масові, гідростатичного тиску, тертя, а також сили стиску й розтягування. Нав’є і Стоксом виведена система диференціальних рівнянь руху реальної рідини має вигляд (2.22), у якій:

–проекції зовнішніх сил на відповідні осі систем

координат;

X,Y,Z – проекції на відповідні осі масових сил, віднесених

до одиниці маси;

,,- проекції гідростатичного стиску, діючого уздовж осей.

, (2.22)

- сума других похідних по осі х має назву оператор Лапласа.

Отже, проекції рівноважної сил тертя на вісь х має вигляд

.

Аналогічно для осей у, z.

При русі рідини, що стискається, у ній додатково виникають спричинені тертям сили стиску і розтягування, рівняння Нав’є-Стокса набувають вигляду:

, (2.23)

де часткові похідні ,,виражають зміни швидкостей по осяхx, y, z, пов’язані з дією сил стиску і розтягування, причому

.

Повне описання руху в’язкої рідини в його найбільш загальній формі можна отримати шляхом вирішення системи рівнянь Нав’є-Стокса разом з рівнянням нерозривності потоку (2.20, 2.21). Однак ці рівняння не можуть бути вирішені в загальному вигляді. Вирішують їх при низці спрощуючих припущень або при перетворенні цих рівнянь за допомогою методів теорії подібності.

2.4. Диференціальні рівняння руху Ейлера

В різних точках рідини, що рухається, в результаті дії зовнішніх сил виникає тиск, який називають гідродинамічним. Припустимо, що на рідину, яка рухається, діють об’ємні сили, проекції яких на осі координат, віднесені до одиниці маси, відповідно дорівнюють X, Y, Z. Сили тиску й масові сили, які входять в диференціальне рівняння рівноваги, представлені у вигляді проекцій на координатні осі x, y, z. причому, ці проекції віднесені до одиниці маси. Тому і проекції сил інерції потрібно приєднати до рівнянь рівноваги віднесеними до одиниці маси, тобто у вигляді:

.

Знак мінус показує, що сили інерції направлені у бік, протилежний прискоренню.

З системи диференціальних рівнянь (2.23) з урахуванням дії масових сил, а також припускаючи, що рідина ідеальна, тобто

маємо систему диференційних рівнянь Ейлера:

. (2.24)

Отримана система рівнянь (2.24) встановлює зв’язок між проекціями об’ємних сил і швидкостей, тиском і густиною рідини.

Субстанціанальні похідні відповідних складових швидкості дорівнюють:

, (2.25)

аналогічно для

Для несталого потоку:

, (2.26)

аналогічні рівняння для

2.5. Рівняння Бернуллі

2.5.1. Виведення рівняння

Подальший розвиток системи диференціальних рівнянь Ейлера провів Бернуллі. Він помножив рівняння системи почленно на прирощення відповідної осі, склав отримані вираження і після їх перетворень отримав рівняння, відоме як рівняння Бернуллі.

Для ідеальної струминки рідини воно має вигляд:

. (2.27)

Рівняння читається так:

Для усіх перерізів сталого потоку ідеальної рідини гідродинамічний напір є величиною незмінною.

У (2.27):

z –	нівелірна висота (геометричний або висотний напір), характеризує питому потенціальну енергію положення у даній точці або у перерізі;
-	п’єзометричний напір (напір тиску), характеризує питому потенційну енергію потоку в точці або перерізі;
-	повний гідростатичний напір (hст), характеризує повну питому потенціальну енергію;
-	швидкісний або динамічний напір, характеризує кінетичну енергію потоку.

Рівняння Бернуллі можна також сформулювати так: при сталому русі ідеальної рідини сума швидкісного і статичного напорів не змінюється при переході від одного перерізу до іншого.

Воно має енергетичний смисл: при сталому русі ідеальної рідини сума кінетичної і потенціальної енергії для кожного з перерізів є величиною незмінною.

Рівняння Бернуллі – це окремий випадок закону збереження енергії і виражає енергетичний баланс потоку.

Для реальної струминки рідини слід враховувати втрату енергії на подолання внутрішнього тертя (h_втр.). Тоді рівняння Бернуллі набуває вигляду:

. (2.28)

Враховуючи, що цілий потік характеризується сукупністю елементарних струминок, що рухаються з різними швидкостями, у рівнянні для цілого потоку реальної рідини необхідно перейти до значення швидкості, усередненій для значень усіх елементарних струминок: _сер.=_{елементарної струминки},

де  - коефіцієнт, що характеризує нерівномірність розподілу швидкостей у потоці. Значення цього коефіцієнту для турбулентного руху коливається у межах 1,05 1,02.

Звідси рівняння Бернуллі для цілого потоку буде мати вигляд:

. (2.29)