21. Функции многих переменных. Понятие n-мерного евклидового пространства. Множество точек евклидового пространства. Последовательность точек и ее предел. Определение функции нескольких переменных.

Выше мы говорили о функциях от одной переменной. Но можно говорить также о функциях двух, трех и вообще переменных.

Функция от двух переменных определяется следующим образом. Рассматривается множество пар чисел. При этом имеются в виду упорядоченные пары. Это значит, что две парыисчитаются равными (совпадающими) тогда и только тогда, когдаи. Если, в силу некоторого закона, каждой пареприведено в соответствие число, то говорят, что этим определена на множествефункцияот двух переменныхи.

Так как каждой паре чисел соответствует на плоскости, где введена декартова система координат, точка с абсциссойи ординатой, и, наоборот, каждой точке, таким образом, соответствует пара, то можно говорить, что наша функциязадана на множестветочек плоскости.

Функцию от двух переменных изображают в трехмерном пространстве, где задана прямоугольная система координат,,, в виде геометрического места точек,  проекции которыхпринадлежат множествуопределения.

Например, таким геометрическим местом для функции

,

является верхняя половина шаровой поверхности радиуса 1 с центром в нулевой точке.

В этом же духе можно определить функцию трех переменных. Областью ее определения может теперь служить некоторое множество упорядоченных троек чисел или, что все равно, соответствующих им точек трехмерного пространства, где введена декартова система координат.

Если каждой тройке чисел (точке трехмерного пространства) , в силу некоторого закона, соответствует число, то говорят, что этим наопределена функция.

Аналогично можно рассматривать множество упорядоченных системизчисел, где- заданное натуральное число. Опять, если каждой такой системе, принадлежащей, соответствует в силу некоторого закона число, то говорят, чтоесть функция от переменных, определенная на множестве, и записывается эта функция в виде.

В случае в нашем распоряжении уже нет реального- мерного пространства, чтобы использовать его для изображения системв виде принадлежащих ему точек. Но математики выдумали-мерное пространство, и оно им благополучно служит, и притом не хуже, чем реальное трехмерное пространство. Именно,-мерным пространством называется множество всевозможных системчисел.

Если две функции иотпеременных заданы на одном и том же множествесистем- точек-мерного пространства, - то можно определить сумму, разность, произведениеи частное,  как функции, определенные напри помощи равенств, аналогичных равенствам (2), где надо только числазаменить системами. Естественным образом определяются также сложные функции, такие, как, где- тройки чисел, принадлежащих некоторому множеству троек.

N-мерная евклидова геометрия — обобщение евклидовой геометрии на пространство большего числа измерений. Хотя физическое пространство является трёхмерным, и человеческие органы чувств рассчитаны на восприятие трёх измерений, N-мерная геометрия широко применяется в качестве математического инструмента при решении различного рода задач, связанных с манипулированием большим числом параметров (например, задачи оптимизации с большим числом переменных, задачи геометрической вероятности).

Система координат

Поскольку достаточно трудно работать с многомерными объектами, используя интуитивные представления трёхмерного мира, в N-мерной геометрии широко применяются аналитические методы. В качестве системы координат чаще всего используется прямоугольная декартова система с числом осей более трёх. Таким образом, некоторая точка А представляется в N-мерной геометрии как набор из N действительных чисел

Несмотря на то, что интуитивно трудно представить себе четыре взаимно перпендикулярные оси, понятие перпендикулярности естественным образом обобщается из трёхмерного пространства на случай четырёх и более измерений. Так, скалярное произведение взаимно перпендикулярных векторов в случае N измерений также равно нулю.

Евклидово пространство однородно и изотропно, то есть его свойства, в том числе и формула для расстояния, не зависят ни от положения начала координат, ни от направления осей координат. Это даёт возможность свободно вращать и переносить объекты, не изменяя их геометрических свойств.

В N-мерном пространстве существуют подпространства всех размерностей , часто называемые гиперплоскостями или k-плоскостями, где k — размерность подпространства. Термин «гиперплоскость» используется также в узком смысле для обозначения подпространства размерности N–1 (коразмерности 1). Одномерное подпространство по аналогии с обычной геометрией называется прямой, двумерное подпространство — плоскостью. Никакого принципиального различия между k-плоскостью и k-пространством нет. Название «плоскость» подчёркивает тот факт, что объект находится внутри пространства большей размерности, то есть является подпространством. Например, в 4-пространстве обычное трёхмерное пространство является 3-плоскостью.

Можно показать, что в пространстве размерности N имеет место аналогичная ситуация — подпространство размерности k задаётся системой N–k линейных уравнений:

Если каждой упорядоченной паре чисел  по некоторому закону  поставлено в соответствие единственное действительное число , то говорят, что задана функция двух переменных  или . Числа  называются при этом независимыми переменными или аргументами функции, а число  – зависимой переменной.