Оглавление

Оглавление 1

1*. Определенный интеграл. Интегральная сумма. Верхняя и нижняя интегральные суммы. Их свойства. 3

2**. Ограниченность интегрируемой функции. 4

3**(-). Критерий интегрируемости ограниченной на отрезке функции. 4

4≠. Теорема об интегрируемости монотонной на отрезке, а также непрерывной на отрезке функций. 4

5*. Основные свойства определенного интеграла. 5

6*. Формула среднего значения для определенного интеграла. 7

7. Интеграл с переменным верхним пределом. Его непрерывность и дифференцируемость. 7

8. Формула Ньютона-Лейбница для определенного интеграла. 8

9. Вычисление определенного интеграла по частям и заменой переменной. 8

10. Применение определенного интеграла (площадь плоской фигуры, длина дуги кривой, объем тела вращения). 9

11++. Понятие числового ряда и его суммы. Критерий Коши сходимости ряда. Необходимое условие сходимости. 11

12+. Признаки Даламбера и Коши сходимости рядов с неотрицательными членами. 12

13. Интегральный признак Коши сходимости числового ряда. 13

14++. Знакопеременные числовые ряды. Абсолютная и условная сходимость. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. 13

15++. Функциональный ряд. Сумма ряда. Определение равномерной сходимости ряда. Критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда. 14

16+. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости. 15

17++. Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов. Теорема о непрерывности суммы равномерно сходящегося ряда из непрерывных функций. Теорема о почленном интегрировании и дифференцировании ряда (без доказательства). 15

18+-(нет доказательства теоремы). Степенной ряд. Теорема Абеля. 16

19++. Радиус сходимости степенного ряда. Формула Коши-Адамара для радиуса сходимости степенного ряда. 17

20+. Вопрос для консультации – надо ли доказывать? На лекциях Михайлов не доказывал! 18

Кроме того – лучше его переспросить еще раз и саму теорему, так как в его интерпретации она отличается от общепринятой формулировки, в которой требуется только лишь существование всех производных, а вовсе не их ограниченность ≤ n!!! 18

Ряд Тейлора. Теорема Тейлора о разложимости функции в ряд Тейлора. Разложение основных элементарных функций в ряд Тейлора-Маклорена: ex, sinx, cosx, (1+x)a, ln(1+x). 18

21++. Ряд Фурье. Разложение функций: в общий ряд Фурье, в ряд по синусам, в ряд по косинусам. 19

22-. Функции многих переменных. Понятие n-мерного евклидового пространства. Множество точек евклидового пространства. Последовательность точек и ее предел. Определение функции нескольких переменных. 20

23-. Предел функции нескольких переменных. Непрерывность функции. Частные производные. 21

24+--. Определение дифференцируемой функции нескольких переменных и ее дифференциала. Производные и дифференциалы высших порядков. 22

25++?-по Тейлору, у меня нет этой лекции. Формула Тейлора для функции многих переменных. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума. 25

26+. Двойной интеграл и его свойства. Сведение двойного интеграла к повторному. 27

27+. Тройной интеграл, сведение его к повторному. 28

28. Замена переменных в двойном интеграле. Пример: случай полярных координат. 29

29. Замена переменных в тройном интеграле. Цилиндрические и сферические координаты. 30

30. Вычисление площади гладкой поверхности, заданной параметрически и в явном виде. 31

31. Определение криволинейных интегралов первого и второго рода, их основные свойства и вычисление. 32

32+нет доказательства!. Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. 34

33. Поверхностные интегралы первого и второго рода, их основные свойства и вычисление. 34

34. Теорема Гаусса-Остроградского, ее запись в координатной и векторной (инвариантной) формах. 36

35. Формула Стокса, ее запись в координатной и векторной (инвариантной) формах. 36

36. Скалярное и векторное поля. Градиент, дивергенция, ротор. Потенциальное и соленоидальное поля. 37

37. Оператор Гамильтона. (набла) его применение (примеры). 39

38. Основные понятия, относящиеся к обыкновенным дифференциальным уравнениям (ОДУ) первого порядка: общее и частное решения, общий интеграл, интегральная кривая. Задача Коши, ее геометрический смысл. 39

39++. Интегрирование ОДУ первого порядка с разделяющимися переменными и однородных. 40

40++. Интегрирование линейных ОДУ первого порядка и уравнения Бернулли. 41

41++. Интегрирование ОДУ первого порядка в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель. 42

42++. Дифференциальные уравнения первого порядка, неразрешенные относительно производной. Метод введения параметра. 43

43. Уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Фундаментальная система решений (ФСР) однородного уравнения, общее решение неоднородного уравнения. 45

44. Система линейных дифференциальных уравнений первого порядка. ФСР однородной системы. Общее решение однородной системы. 48

* - максимально близко к лекциям Михайлова В.Д. в 2015 (общий ход совпадает, отличия не существенны. Возможно другие обозначения.)

** - абсолютно идентично лекциям Михайлова В.Д. в 2015

**(-) – так у М.В.Д., но почему именно так, не до конца ясно (по крайней мере мне). В тексте есть пометки, что именно не ясно.

≠ - проверено, но М.В.Д. не соответствует.

Все остальное – скорее всего правильно, но на идентичность М.В.Д. не проверялось.