- •Оглавление
- •1*. Определенный интеграл. Интегральная сумма. Верхняя и нижняя интегральные суммы. Их свойства.
- •2**. Ограниченность интегрируемой функции.
- •3**(-). Критерий интегрируемости ограниченной на отрезке функции.
- •4≠. Теорема об интегрируемости монотонной на отрезке, а также непрерывной на отрезке функций.
- •5*. Основные свойства определенного интеграла.
- •6*. Формула среднего значения для определенного интеграла.
- •7. Интеграл с переменным верхним пределом. Его непрерывность и дифференцируемость.
- •8. Формула Ньютона-Лейбница для определенного интеграла.
- •9. Вычисление определенного интеграла по частям и заменой переменной.
- •10. Применение определенного интеграла (площадь плоской фигуры, длина дуги кривой, объем тела вращения).
- •13. Интегральный признак Коши сходимости числового ряда.
- •28. Замена переменных в двойном интеграле. Пример: случай полярных координат.
- •29. Замена переменных в тройном интеграле. Цилиндрические и сферические координаты.
- •30. Вычисление площади гладкой поверхности, заданной параметрически и в явном виде.
- •31. Определение криволинейных интегралов первого и второго рода, их основные свойства и вычисление.
- •33. Поверхностные интегралы первого и второго рода, их основные свойства и вычисление.
- •34. Теорема Гаусса-Остроградского, ее запись в координатной и векторной (инвариантной) формах.
- •35. Формула Стокса, ее запись в координатной и векторной (инвариантной) формах.
- •36. Скалярное и векторное поля. Градиент, дивергенция, ротор. Потенциальное и соленоидальное поля.
- •37. Оператор Гамильтона. (набла) его применение (примеры).
- •38. Основные понятия, относящиеся к обыкновенным дифференциальным уравнениям (оду) первого порядка: общее и частное решения, общий интеграл, интегральная кривая. Задача Коши, ее геометрический смысл.
- •43. Уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Фундаментальная система решений (фср) однородного уравнения, общее решение неоднородного уравнения.
- •44. Система линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Фср однородной системы. Общее решение однородной системы.
9. Вычисление определенного интеграла по частям и заменой переменной.
При выводе формулы интегрирования по частям было получено равенство u dv =d (uv) –v du. (d (uv)= u dv+ v du)
Проинтегрировав его в пределах от aдоbи учитывая теорему «о свойствах определённого интеграла», получим
Как это следует из теоремы «о свойствах неопределённого интеграла», первый член в правой части равен разности значений произведения uv при верхнем и нижнем пределах интегрирования. Записав эту разность кратко в виде
получаем формулу интегрирования по частям для вычисления определенного интеграла:
Перейдём к вычислению определённого интеграла методом замены переменной.
Пусть
где, по определению, F(x) – первообразная для f(x). Если в подынтегральном выражении произвести замену переменной
то в соответствии с формулой (16?) можно записать
В этом выражении
первообразная функция для
В самом деле, её производная, согласно правилу дифференцирования сложной функции, равна
Пусть α и β – значения переменной t , при которых функция
принимает соответственно значения aи b, т.е.
Тогда
Но, согласно формуле Ньютона-Лейбница, разность F(b) – F(a) есть
поскольку F(x) – первообразная для f(x).
Итак,
(50)
Это и есть формула перехода к новой переменной под знаком определённого интеграла. С её помощью определённый интеграл
после замены переменной преобразуется в определённый интеграл относительно новой переменной t. При этом старые пределы интегрированияa и b заменяются новыми пределами α и β. Чтобы найти новые пределы, нужно в уравнение
поставить значения x = a и x = b, т.е. решить уравнения
и
относительно α и β. После нахождения новых пределов интегрирования вычисление определённого интеграла сводится к применению формулы Ньютона-Лейбница к интегралу от новой переменной t. В первообразной функции, которая получается в результате нахождения интеграла, возвращаться к старой переменной нет необходимости.
При вычислении определённого интеграла методом замены переменной часто бывает удобно выражать не старую переменную как функцию новой, а, наоборот, новую – как функцию старой.
10. Применение определенного интеграла (площадь плоской фигуры, длина дуги кривой, объем тела вращения).
Вычисление площадей плоских фигур:
Прямоугольные координаты
Площадь криволинейной трапеции, расположенной «выше» оси абсцисс (ƒ(х) ≥ 0), равна соответствующему определенному интегралу:
Формула (41.1) получена путем применения метода сумм. Пусть криволинейная трапеция ограничена линиями у = ƒ(х) ≥ 0, х = а, х = b, у = 0 (см. рис. 174).
Для нахождения площади S этой трапеции проделаем следующие операции:
1. Возьмем произвольное х [а; b] и будем считать, что S = S(x).
2. Дадим аргументу х приращение Δх = dx (х + Δх є [а; b]). Функция S = S(x) получит приращение ΔS, представляющее собой площадь «элементарной криволинейной трапеции» (на рисунке она выделена).
Дифференциал площади dS есть главная часть приращения ΔS при Δх → 0, и, очевидно, он равен площади прямоугольника с основанием dx и высотой у: dS = у • dx.
3. Интегрируя полученное равенство в пределах от х = а до х = b, получаем
Отметим,что если криволинейная трапеция расположена «ниже» оси Ох (ƒ(х) < 0), то ее площадь может быть найдена по формуле
Формулы (41.1)и (41.2) можно объединить в одну:
Если криволинейная трапеция ограничена прямыми у = с и у=d, осью Оу и непрерывной кривой х = φ(у) ≥ 0 (см. рис. 177), то ее площадь находится по формуле
И, наконец, если криволинейная трапеция ограничена кривой, заданной параметрически
прямыми х = а и х = b и осью Ох, то площадь ее находится по формуле
где а и β определяются из равенств х(а) = а и х(β) =b.
Полярные координаты
Найдем площадь S криволинейного сектора, т. е. плоской фигуры, ограниченной непрерывной линией r=r(φ) и двумя лучами φ=а и φ=β (а < β), где r и φ — полярные координаты (см. рис. 180).
1. Будем считать часть искомой площади S как функцию угла φ, т. е. S = S(φ), где а ≤φ≤β (если φ = а, то S(a) = 0, если φ=β, то S(β) = S).
2. Если текущий полярный угол φ получит приращение Δφ = dφ, то приращение площади AS равно площади «элементарного криволинейного сектора» OAB.
Дифференциал dS представляет собой главную часть приращения ΔS при dφ→0 и равен площади кругового сектора О АС (на рисунке она заштрихована) радиуса r с центральным углом dφ. Поэтому
3. Интегрируя полученное равенство в пределах от φ = а до φ = β, получим искомую площадь
Вычисление длины дуги плоской кривой
Пусть в прямоугольных координатах дана плоская кривая АВ, уравнение которой у=ƒ(х), где а≤х≤ b.
Под длиной дуги АВ понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длина наибольшего звена ее стремится к нулю. Покажем, что если функция у=ƒ(х) и ее производная у' = ƒ'(х) непрерывны на отрезке [а; b], то кривая АВ имеет длину, равную
1. Точками х0 = а, х1..., хn = b (х0 < x1 < ...< хn) разобьем отрезок [а; b] на n частей (см. рис. 183). Пусть этим точкам соответствуют точки М0 = А, M1,...,Mn =В на кривой АВ. Проведем хорды М0M1, M1M2,..., Мn-1Мn, длины которых обозначим соответственно через ΔL1, AL2,..., ΔLn. Получим ломаную M0M1M2 ... Mn-ιMn, длина которой равна Ln=ΔL1 + ΔL2+...+ ΔLn =
2. Длину хорды (или звена ломаной) ΔL1 можно найти по теореме Пифагора из треугольника с катетами Δxi и Δуi:
По теореме Лагранжа о конечном приращении функции Δуi=ƒ'(сi)•Δхi, где ci є (xi-1;xi). Поэтому
а длина всей ломаной M0M1... Мn равна
3.Длина l кривой АВ, по определению, равна
.
Заметим, что при ΔLi→0 также и Δxi →0 ΔLi =и, следовательно, |Δxi|<ΔLi).
Функция непрерывна на отрезке [а; b], так как, по условию, непрерывна функция ƒ'(х). Следовательно, существует предел интегральной суммы (41.4), когда max Δxi→ 0:
Таким образом,или в сокращенной записи l =
Вычисление объема тела
Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений
Пусть требуется найти объем V тела, причем известны площади S сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными некоторой оси, например оси Ох: S = S(x), а ≤ х ≤ b.
1. Через произвольную точку х є [a;b] проведем плоскость ∏, перпендикулярную оси Ох (см. рис. 188). Обозначим через S(x) площадь сечения тела этой плоскостью; S(x) считаем известной и непрерывно изменяющейся при изменении х. Через v(x) обозначим объем части тела, лежащее левее плоскости П. Будем считать, что на отрезке [а; х] величина v есть функция от х, т. е. v = v(x) (v(a) = 0, v(b) = V).
2. Находим дифференциал dV функции v = v(x). Он представляет собой «элементарный слой» тела, заключенный между параллельными плоскостями, пересекающими ось Ох в точках х и х+Δх, который приближенно может быть принят за цилиндр с основанием S(x) и высотой dx. Поэтому дифференциал объема dV = S(x) dx.
3. Находим искомую величину V путем интегрирования dV в пределах от а до b:
Полученная формула называется формулой объема тела по площади параллельных сечений.
Объем тела вращения
Пусть вокруг оси Ох вращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линией у = ƒ(х), отрезком а ≤ x ≤ b и прямыми х = а и х = b (см. рис. 190). Полученная от вращения фигура называется телом вращения. Сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох, проведенной через произвольную точку х оси Ох (хÎ [а; b]), есть круг с радиусом у = ƒ(х). Следовательно, S(x)=πy2.
Применяя формулу (41.6) объема тела по площади параллельных сечений, получаем
Если криволинейная трапеция ограничена графиком не прерывной функции х=φ(у) ≥ 0 и прямыми х = 0, у = с,
у = d (с < d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Оу, по аналогии с формулой (41.7), равен
11++. Понятие числового ряда и его суммы. Критерий Коши сходимости ряда. Необходимое условие сходимости.
Выражение(1)
где (uk)kÎ N — заданная числовая последовательность, называется числовым рядом. Конечные суммы S1 = u1, S2 = u1 + u2, .... Sn = u1 + u2 +...+ un, называются частичными суммами ряда (1).
Если существует конечный предел последовательности частичных сумм (2)
то ряд (1) называется сходящимся, а число S—суммой ряда (1)
Необходимое условие сходимости:
Если ряд (1) сходится, то
Доказательство:
Пусть ряд u1+u2+…+un… сходится, то есть существует конечный предел =S. Тогда имеет место также равенство=S, так как при nи (n-1). Вычитая почленно из первого равенства второе, получаем-==un=0, что и требовалось доказать.
Критерий Коши:
Для того чтобы числовой ряд (1) был сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовало N = N(ε) такое, что для всех n > N и р = 1, 2, … выполнялось неравенство:
Доказательство:
=>
Частный случай:
При p=1: |xn+1| < ε, следовательно, (необходимое условие сходимости ряда).
12+. Признаки Даламбера и Коши сходимости рядов с неотрицательными членами.
Признак Даламбера:
Пусть дан знакоположительный числовой ряд
(7)
и пусть существует предел При p<1 ряд (7) сходится, при p>1 ряд (7) расходится.
(Михайлов доказывал другую форму признака Даламбера, не предельную, а для , где 0<q<1 и для >1, представляя это как геом. Прогрессию. Аналогично и для признака Коши. Но доказательство практически такое же для обоих признаков – все сводится к геом. прогрессии.)
Доказательство:
По условию существует предел . Это означает, что для любого положительного числа ε существует такой номер N(ε), что для всех номеров n>N выполняется условие
или p-E<(10) (E – это ε)
Пусть сначала p<1. Выберем ε так, что p+ε=q<1. Для всех n>N имеем … или
или
(11)
Рассмотрим ряды:
(12)
. (13)
Ряд (13) сходится, так как он является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Тогда ряд (12) сходится, учитывая (11), по признаку сравнения. Ряд (7) сходится по теореме 1.
Пусть теперь p>1. Выберем ε так, что p-ε>1. Тогда из левой части неравенства (10) следует, что при n>N выполняется или un+1>un, то есть члены ряда возрастают с возрастанием номера n. Поэтому un≠0, следовательно, ряд расходится по следствию из необходимого признака сходимости. Теорема доказана.
Замечания:
1. Если расходимость ряда установлена с помощью признака Даламбера, то un≠0.
2. При р=1 признак Даламбера не даёт ответа о сходимости ряда. В этом случае нужно применять другие признаки сходимости.
3. Признак Даламбера рекомендуется применять при наличии в выражении общего члена ряда показательной функции или факториала.
Признак Коши:
Пусть дан знакоположительный числовой ряд u1+u2+…+un… (7)
и пусть существует предел При p<1 ряд (7) сходится, при p>1 ряд (7) расходится.
Доказательство:
По условию существует Это означает, что для любого положительного числа Е существует такой номер N, что для всех n>N выполняется условие || <E или
p-E<<p+E. (14)
Пусть p<1. Выберем Е таким, чтобы выполнялось p+E=q<1. Тогда из (14) получаем <q или un<qn для всех n>N. Рассмотрим ряды
(15)
(16)
Ряд (16) сходится, так как он является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Ряд (15) сходится, учитывая, что un<qn для всех n>N, по признаку сравнения, следовательно, по теореме 1 сходится ряд (7).
Пусть теперь p>1. Выберем Е так, чтобы выполнялось условие p-E >1. Тогда из (14) получаем >1 или un>1, следовательно, un≠0 и ряд (7) расходится по следствию из необходимого признака сходимости. Теорема доказана.