1. Определенный интеграл. Интегральная сумма. Верхняя и нижняя интегральные суммы. Их свойства.

Пусть на некотором промежутке задана функция.

Произведём разбиение отрезка точками. Внутри каждого отрезкавозьмём произвольную точку.

- интегральная сумма.

Устремим . Максимум- мелкость разбиения (характеристика разбиения).

Фигура под кривой называется криволинейной трапецией.

- определение определенного интеграла (если предел существует).

Интегральные суммы и их свойства:

Нижняя интегральная сумма: , где

Верхняя интегральная сумма: , где

1) , при данном конкретном разбиении.

2) если разбиение получается из разбиения T добавлением одной точки разбиения, то нижняя интегральная сумма может только увеличиться, а верхняя только уменьшиться, т.е.

Следствие: при добавлении к любому разбиению T любого дополнительного числа точек разбиения нижняя интегральная сумма может только увеличиться, а верхняя - только увеличиться.

3) Для любых 2-х разбиений T' и T'', нижняя интегральная сумма любого разбиения не превосходит интегральную сумму другого разбиения .

Доказательство: по предыдущему свойству рассмотрим разбиение T, полученное из всех точек разбиения T' и T''. Тогда . Аналогично. И т.к., то, что и требовалось доказать.

4) Все нижние интегральные суммы ограничены сверху, а все верхние интегральные суммы ограничены снизу. Как известно, множество чисел, ограниченных сверху имеют точную верхнюю грань аналогично и для ограниченных снизу - нижняя грань.

- верхняя грань для s.

- верхняя грань для S.

Геометрический смысл определенного интеграла - это площадь фигуры, ограниченной прямыми , осьюи графиком функции.

Основные свойства определённого интеграла.

1) ;

2) ; (следует из определения интеграла как предела интегральных сумм).

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

2. Ограниченность интегрируемой функции.

Если функция интегрируема на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.

Замечание: условие ограниченности является необходимым условием интегрируемости функции по Риману на отрезке.

Доказательство

Пусть функция f(x) интегрируема на [a, b], тогда . По определению интеграла, то есть дляи любого набора точеквыполняется:

, отсюда получаем:

Допустим, что функция не ограничена на [a, b], то есть не ограничена на некотором . Обозначим остальную, не относящуюся к данному отрезку часть суммы заσ:

В силу неограниченности всегда можно выбрать такое ξ*, что .

Получено противоречие, следовательно интегрируемая функция должна быть ограниченной.

3. Критерий интегрируемости ограниченной на отрезке функции.

Критерии интегрируемости:

Необходимое условие: функция f должна быть ограниченной на отрезке [a,b].

 

Критерий Коши:

Для существования неопределенного интеграла необходимо и достаточно, чтобы 

Достаточный признак:

Для интегрирования f достаточно. 

.

Доказательство:

В отрезке 

Пусть , тогда 

 

f интегрируемая функция, ч.т.д.

Следствие №1:

Если функция f ограничена на [a, b] и имеем на нем конечное число точек разрыва, то функция fинтегрируема на [a, b].

Доказательство:

Пусть f имеет на [a, b] k-точек разрыва

Рассмотрим у каждой точки разрыва с радиусом  и вычтем из отрезка

                                  +         

выберем , такое, что ;

; 

{берётся по отрезкам, которые не пересекаются с окрестностью точек разрыва}

+{все остальные}

<

ч.т.д.