- •1. Определенный интеграл. Интегральная сумма. Верхняя и нижняя интегральные суммы. Их свойства.
- •2. Ограниченность интегрируемой функции.
- •Доказательство
- •3. Критерий интегрируемости ограниченной на отрезке функции.
- •4. Теорема об интегрируемости монотонной на отрезке, а также непрерывной на отрезке функций.
- •5. Основные свойства определенного интеграла.
- •6. Формула среднего значения для определенного интеграла.
- •7. Интеграл с переменным верхним пределом. Его непрерывность и дифференцируемость.
- •8. Формула Ньютона-Лейбница для определенного интеграла.
- •9. Вычисление определенного интеграла по частям и заменой переменной.
- •10. Применение определенного интеграла (площадь плоской фигуры, длина дуги кривой, объем тела вращения).
- •11. Понятие числового ряда и его суммы. Критерий Коши сходимости ряда. Необходимое условие сходимости.
- •12. Признаки Деламбера и Коши сходимости рядов с неотрицательными членами.
- •13. Интегральный признак Коши сходимости числового ряда.
- •14. Знакопеременные числовые ряды. Абсолютная и условная сходимость. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
- •15. Функциональный ряд. Сумма ряда. Определение равномерной сходимости ряда. Критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда.
- •16. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости.
- •18. Степенной ряд. Теорема Абеля.
- •19. Радиус сходимости степенного ряда. Формула Коши-Адамара для радиуса сходимости степенного ряда.
- •21. Функции многих переменных. Понятие n-мерного евклидового пространства. Множество точек евклидового пространства. Последовательность точек и ее предел. Определение функции нескольких переменных.
- •22. Предел функции нескольких переменных. Непрерывность функции. Частные производные.
- •23. Определение дифференцируемой функции нескольких переменных и ее дифференциала. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •24. Формула Тейлора для функции многих переменных. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума.
- •25. Двойной интеграл и его свойства. Сведение двойного интеграла к повторному.
- •27. Замена переменных в тройном интеграле. Цилиндрические и сферические координаты.
- •28. Вычисление площади гладкой поверхности, заданной параметрически и в явном виде.
- •29. Определение криволинейных интегралов первого и второго рода, их основные свойства и вычисление.
- •30. Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.
- •31. Поверхностные интегралы первого и второго рода, их основные свойства и вычисление.
- •32. Теорема Гаусса-Остроградского, ее запись в координатной и векторной (инвариантной) формах.
- •33. Формула Стокса, ее запись в координатной и векторной (инвариантной) формах.
- •34. Скалярное и векторное поля. Градиент, дивергенция, ротор. Потенциальное и соленоидальное поля.
- •35. Оператор Гамильтона. (набла) его применение (примеры).
- •36. Основные понятия, относящиеся к обыкновенным дифференциальным уравнениям (оду) первого порядка: общее и частное решения, общий интеграл, интегральная кривая. Задача Коши, ее геометрический смысл.
- •37. Интегрирование оду первого порядка с разделяющимися переменными и однородных.
- •38. Интегрирование линейных оду первого порядка и уравнения Бернулли.
- •39. Интегрирование оду первого порядка в полярных дифференциалах. Интегрирующий множитель.
- •40. Дифференциальные уравнения первого порядка, неразрешенные относительно производной. Метод введения параметра.
- •41. Уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Фундаментальная система решений (фср) однородного уравнения, общее решение неоднородного уравнения.
- •42. Система линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Фср однородной системы. Общее решение однородной системы.
24. Формула Тейлора для функции многих переменных. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума.
Как известно, функцию F(T) при условии существования ее производных по порядок N+1 можно разложить по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Запишем эту формулу в дифференциальной форме:
В этой форме формулу Тейлора можно распространить на случай функции нескольких переменных.
Рассмотрим функцию двух переменных F(X, Y), имеющую в окрестности точки (Х0 , у0) непрерывные производные по (N + 1)-й порядок включительно. Зададим аргументам Х И У некоторые приращения DХ и DУ и рассмотрим новую независимую переменную T:
Эти формулы задают прямолинейный отрезок, соединяющий точки (Х0 ,у0) и (Х0+DХ, у0+DУ). Тогда вместо приращения DF(X0,Y0) можно рассматривать приращение вспомогательной функции
F(T) = F(X0+T DX, Y0+TDY),
Равное DF(0) = F(1) – F(0). Но F (T) является функцией одной переменной T, следовательно, к ней применима формула, приведенная в начале раздела. Получаем:
Отметим, что при Линейной замене переменных дифференциалы высших порядков обладают свойством инвариантности, то есть
Подставив эти выражения в предыдущую формулу, получим Формулу Тейлора для функции двух переменных:
Замечание. В дифференциальной форме формула Тейлора для случая нескольких переменных выглядит достаточно просто, однако в развернутом виде она весьма громоздка. Например, даже для функции двух переменных первые ее члена выглядят так:
Максимум и минимум функции нескольких переменных
Напомним, что под окрестностью точки плоскости понимается внутренность любого прямоугольника, окружающего эту точку, исключая саму точку (проколотая окрестность).
В пространстве это будет произвольный параллелепипед, содержащий эту точку за вычетом самой точки.
Определение. Максимумом (строгим) функции f (x, y) называется такое значение f(x1, y1) этой функции, которое больше всех ее значений f(x, y), принимаемых данной функцией в точках некоторой окрестности точки О(х1, у1). (Окрестность может быть весьма малой по своим линейным размерам).
Определение. Минимумом (строгим) функции f (x, y) называется такое значение f (x2,y2), которое меньше всех ее значений f (x,y), принимаемых данной функцией в точках некоторой окрестности О (х2, у2).
Максимум или минимум функции f (x, y) называется экстремумом этой функции. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума (точка минимума, точка максимума).
Аналогично определяется экстремум функции f (x, y, z) и т.д.
Теорема. (Необходимый признак экстремума функции нескольких переменных). В точке экстремума функции нескольких переменных каждая ее частная производная первого порядка либо равна нулю, либо не существует.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть u = f (x, y) и f (xo, yo) - ее максимум (для минимума рассуждения аналогичны). Зафиксируем одну из переменных, например, у, полагая у = уо, тогда получим функцию одной переменной U1 = f (x, yo), которая, очевидно, будет иметь максимум при х = хо. Отсюда, на основании теории экстремума одной переменной, получаем, что илине существует.
Пусть теперь у=уо, а хо- фиксируем, тогда или не существует.
С л е д с т в и е. В точке экстремума Мо (хо, уо) дифференцируемой функции f (x, y) выполнены равенства
Для U = f(x, y, z) в точке Мо (хо ,уо, zо) будет выполнено условие .
З а м е ч а н и е. Точку, в которой частные производные первого порядка либо не существуют, либо равны нулю, называют критической.
Т.е. экстремумы функции нескольких переменных могут достигаться лишь в критических точках.
Пример. Покажем, что указанные выше условия не являются достаточными. Пусть z = f(x, y) = x × y тогда имеем
Следовательно, Однако точка 0(0,0) не является точкой экстремума, т.к. в любой окрестности точки0 (о,о) имеются точки
A (e,e) и B(- e, e) " e > 0 :
f(A) = e2 > 0 = f(0) и f(B) = - e2 < f(0).
Абсолютный экстремум
Определение. Наименьшее или наибольшее значение функции в данной области называется абсолютным экстремумом функции. (Соответственно, абсолютный минимум, абсолютный максимум).
Теорема. (Вайерштрасс) Функция, непрерывная в ограниченной и замкнутой области, достигает в этой области своего наименьшего и своего наибольшего значения. (Без доказательства)
Теорема . Абсолютный экстремум функции в данной области достигается либо в критической точке функции, принадлежащей этой области, либо в граничной точке области. (Без доказательства)
Пример. Для функции z = x × y найти абсолютный экстремум в треугольной области S с вершинами О(0,0), А(1,0), В(0,2).
Определим
Рис. 15.1.
Критическая точка O(0,0) Î S. На участке ОА имеем у = 0 (0 £ х £ 1) и тогда z = 0.
Аналогично ОВ: х = 0 (0 £ у £ 2) Þ z = 0.
Наконец, отрезок АВ имеет уравнение или у = 2 - 2х (0£ х £ 1).
Отсюда z = x × y = 2x - 2x2 .
Имеем , т.е. прии т.к., то в точкефункция Z достигает своего наибольшего значенияна отрезке АВ.
Итак, наименьшее значение z в S есть m=0 и оно реализуется в точках отрезков ОВ и ОА, составляющих часть границы Г. достигает в точке
Теорема. (достаточное условие экстремума) Если дважды дифференцируема в стационарной точке, то-- точка минимума (максимума), если квадратичная формаположительно (отрицательно) определена. Если эта форма не определена, то экстремума в этой точке нет. Если она вырождена, то неизвестно, является литочкой экстремума.
Доказательство. По формуле Тейлора приращение функции в точке можно записать в виде, поскольку, по необходимому условию экстремума, частные производные будут равны нулю. Перепишем выражение в виде, причемпри. Заметим, что новые переменныеизменяются на единичной сфере, т.к.. Кроме того, квадратичная форманепрерывна и по теореме Вейерштрасса на сфере принимает наименьшее значение, обозначим его. Пусть форма положительно определена. Тогда. Теперь благодаря тому, чтоприможно подобрать такое, что привыполнено, тогда выполненов этой окрестности. Что и означает, что-- точка минимума. Для точки максимума доказательство аналогично.
Замечание . В случае двух переменных матрица квадратичной формы имеет вид . Тогда если, то для положительной определенности достаточно-- тогда имеется минимум. Если же, то достигается максимум. Если же, то ничего сказать нельзя.