- •1. Определенный интеграл. Интегральная сумма. Верхняя и нижняя интегральные суммы. Их свойства.
- •2. Ограниченность интегрируемой функции.
- •Доказательство
- •3. Критерий интегрируемости ограниченной на отрезке функции.
- •4. Теорема об интегрируемости монотонной на отрезке, а также непрерывной на отрезке функций.
- •5. Основные свойства определенного интеграла.
- •6. Формула среднего значения для определенного интеграла.
- •7. Интеграл с переменным верхним пределом. Его непрерывность и дифференцируемость.
- •8. Формула Ньютона-Лейбница для определенного интеграла.
- •9. Вычисление определенного интеграла по частям и заменой переменной.
- •10. Применение определенного интеграла (площадь плоской фигуры, длина дуги кривой, объем тела вращения).
- •11. Понятие числового ряда и его суммы. Критерий Коши сходимости ряда. Необходимое условие сходимости.
- •12. Признаки Деламбера и Коши сходимости рядов с неотрицательными членами.
- •13. Интегральный признак Коши сходимости числового ряда.
- •14. Знакопеременные числовые ряды. Абсолютная и условная сходимость. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
- •15. Функциональный ряд. Сумма ряда. Определение равномерной сходимости ряда. Критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда.
- •16. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости.
- •18. Степенной ряд. Теорема Абеля.
- •19. Радиус сходимости степенного ряда. Формула Коши-Адамара для радиуса сходимости степенного ряда.
- •21. Функции многих переменных. Понятие n-мерного евклидового пространства. Множество точек евклидового пространства. Последовательность точек и ее предел. Определение функции нескольких переменных.
- •22. Предел функции нескольких переменных. Непрерывность функции. Частные производные.
- •23. Определение дифференцируемой функции нескольких переменных и ее дифференциала. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •24. Формула Тейлора для функции многих переменных. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума.
- •25. Двойной интеграл и его свойства. Сведение двойного интеграла к повторному.
- •27. Замена переменных в тройном интеграле. Цилиндрические и сферические координаты.
- •28. Вычисление площади гладкой поверхности, заданной параметрически и в явном виде.
- •29. Определение криволинейных интегралов первого и второго рода, их основные свойства и вычисление.
- •30. Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.
- •31. Поверхностные интегралы первого и второго рода, их основные свойства и вычисление.
- •32. Теорема Гаусса-Остроградского, ее запись в координатной и векторной (инвариантной) формах.
- •33. Формула Стокса, ее запись в координатной и векторной (инвариантной) формах.
- •34. Скалярное и векторное поля. Градиент, дивергенция, ротор. Потенциальное и соленоидальное поля.
- •35. Оператор Гамильтона. (набла) его применение (примеры).
- •36. Основные понятия, относящиеся к обыкновенным дифференциальным уравнениям (оду) первого порядка: общее и частное решения, общий интеграл, интегральная кривая. Задача Коши, ее геометрический смысл.
- •37. Интегрирование оду первого порядка с разделяющимися переменными и однородных.
- •38. Интегрирование линейных оду первого порядка и уравнения Бернулли.
- •39. Интегрирование оду первого порядка в полярных дифференциалах. Интегрирующий множитель.
- •40. Дифференциальные уравнения первого порядка, неразрешенные относительно производной. Метод введения параметра.
- •41. Уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Фундаментальная система решений (фср) однородного уравнения, общее решение неоднородного уравнения.
- •42. Система линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Фср однородной системы. Общее решение однородной системы.
6. Формула среднего значения для определенного интеграла.
Теорема о среднем. Если f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то существует точка , такая что. Док-во. Функция, непрерывная на отрезке, принимает на этом отрезке своё наименьшее m и наибольшее M значения. Тогда. Числозаключено между минимальным и максимальным значениями функции на отрезке. Одно из свойств функции, непрерывной на отрезке, заключается в том, что эта функция принимает любое значение, расположенное между m и M. Таким образом, существует точка, такая что. Это свойство имеет простую геометрическую интерпретацию: еслинепрерывна на отрезке [a,b], то существует точкатакая, что площадь криволинейной трапеции ABCD равна площади прямоугольника с основанием [a,b] и высотой f(c) (на рисунке выделен цветом).
7. Интеграл с переменным верхним пределом. Его непрерывность и дифференцируемость.
Рассмотрим функцию f (x), интегрируемую по Риману на отрезке [a, b]. Раз она интегрируема на [a, b], то она также интегрируема на [a, x] ∀x ∈ [a, b]. Тогда при каждом x ∈ [a, b] имеет смысл выражение , и при каждом x оно равно некоторому числу.
Таким образом, каждому x ∈ [a, b] поставлено в соответствие некоторое число ,
т.е. на [a, b] задана функция:
(3.1)
Определение:
Функция F (x), заданная в (3.1), а также само выражение называется
интегралом с переменным верхним пределом. Она определена на всем отрезке [a, b]
интегрируемости функции f (x).
Теорема:
Условие: f (t) непрерывна на [a, b], а функция F (x) задана формулой (3.1).
Утверждение: Функция F(x) дифференцируема на [a, b], причем F (x) = f (x).
(В точке a она дифференцируема справа, а в точке b – слева.)
Доказательство:
Поскольку для функции одной переменной F (x) дифференцируемость равносильна существованию производной во всех точках (в точке a справа, а в точке b – слева), то мы найдем производную F (x). Рассмотрим разность
Таким образом,
,
при этом точка ξ лежит на отрезке [x, x + ∆x] (или [x + ∆x, x] если ∆x < 0).
Теперь вспомним, что производная функции F(x) в заданной точке x ∈ [a, b] равна пределу разностного отношения: . Из равенства имеем:
,
Устремляя теперь ∆x → 0, в левой части данного равенства получим F’(x), a в правой
Вспомним определение непрерывности функции f (t) в точке x:
Пусть x1 в этом определении равен ξ. Поскольку ξ ∈ [x + ∆x, x] (ξ ∈ [x, x + ∆x]), а
∆x → 0, то |x − ξ| → 0, и по определению непрерывности, f (ξ) → f (x). Отсюда имеем:
F’(x) = f (x).
Следствие:
Условие: f (x) непрерывна на [a, b].
Утверждение: Любая первообразная функции f (x) имеет вид
где C ∈ R – некоторая константа.
Доказательство. По теореме 3.1 функция является первообразной для f(x). Предположим, что G(x) – другая первообразная f (x). Тогда G’(x) = f(x) и для функции F(x) − G(x) имеем: (F (x) + G(x))’ = F’(x)−G’(x) = f (x)−f(x) ≡ 0. Значит, производная функции F (x)−G(x)
равна нулю, следовательно, эта функция есть постоянная: F(x) − G(x) = const.