- •1. Определенный интеграл. Интегральная сумма. Верхняя и нижняя интегральные суммы. Их свойства.
- •2. Ограниченность интегрируемой функции.
- •Доказательство
- •3. Критерий интегрируемости ограниченной на отрезке функции.
- •4. Теорема об интегрируемости монотонной на отрезке, а также непрерывной на отрезке функций.
- •5. Основные свойства определенного интеграла.
- •6. Формула среднего значения для определенного интеграла.
- •7. Интеграл с переменным верхним пределом. Его непрерывность и дифференцируемость.
- •8. Формула Ньютона-Лейбница для определенного интеграла.
- •9. Вычисление определенного интеграла по частям и заменой переменной.
- •10. Применение определенного интеграла (площадь плоской фигуры, длина дуги кривой, объем тела вращения).
- •11. Понятие числового ряда и его суммы. Критерий Коши сходимости ряда. Необходимое условие сходимости.
- •12. Признаки Деламбера и Коши сходимости рядов с неотрицательными членами.
- •13. Интегральный признак Коши сходимости числового ряда.
- •14. Знакопеременные числовые ряды. Абсолютная и условная сходимость. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
- •15. Функциональный ряд. Сумма ряда. Определение равномерной сходимости ряда. Критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда.
- •16. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости.
- •18. Степенной ряд. Теорема Абеля.
- •19. Радиус сходимости степенного ряда. Формула Коши-Адамара для радиуса сходимости степенного ряда.
- •21. Функции многих переменных. Понятие n-мерного евклидового пространства. Множество точек евклидового пространства. Последовательность точек и ее предел. Определение функции нескольких переменных.
- •22. Предел функции нескольких переменных. Непрерывность функции. Частные производные.
- •23. Определение дифференцируемой функции нескольких переменных и ее дифференциала. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •24. Формула Тейлора для функции многих переменных. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума.
- •25. Двойной интеграл и его свойства. Сведение двойного интеграла к повторному.
- •27. Замена переменных в тройном интеграле. Цилиндрические и сферические координаты.
- •28. Вычисление площади гладкой поверхности, заданной параметрически и в явном виде.
- •29. Определение криволинейных интегралов первого и второго рода, их основные свойства и вычисление.
- •30. Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.
- •31. Поверхностные интегралы первого и второго рода, их основные свойства и вычисление.
- •32. Теорема Гаусса-Остроградского, ее запись в координатной и векторной (инвариантной) формах.
- •33. Формула Стокса, ее запись в координатной и векторной (инвариантной) формах.
- •34. Скалярное и векторное поля. Градиент, дивергенция, ротор. Потенциальное и соленоидальное поля.
- •35. Оператор Гамильтона. (набла) его применение (примеры).
- •36. Основные понятия, относящиеся к обыкновенным дифференциальным уравнениям (оду) первого порядка: общее и частное решения, общий интеграл, интегральная кривая. Задача Коши, ее геометрический смысл.
- •37. Интегрирование оду первого порядка с разделяющимися переменными и однородных.
- •38. Интегрирование линейных оду первого порядка и уравнения Бернулли.
- •39. Интегрирование оду первого порядка в полярных дифференциалах. Интегрирующий множитель.
- •40. Дифференциальные уравнения первого порядка, неразрешенные относительно производной. Метод введения параметра.
- •41. Уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Фундаментальная система решений (фср) однородного уравнения, общее решение неоднородного уравнения.
- •42. Система линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Фср однородной системы. Общее решение однородной системы.
27. Замена переменных в тройном интеграле. Цилиндрические и сферические координаты.
Замена переменных в тройном интеграле в общем случае.
Пусть имеется тело (V) с границей (S).
Пусть , тогда.
Замена:
Преобразование (*) будем считать взаимно-однозначным, то есть всё можно выразить друг через друга, а именно:
Пусть поверхность (Λ) задаётся параметрически, то есть:
Получаем параметрическое задание поверхности (S) (см. рис. ниже).
Два последних двойных интеграла равны, так как:
Применим к последнему выражению формулу Гаусса-Остроградского, то есть эту формулу: .
Пусть ,,, тогда:
Выражение в скобках равно нулю. Оставшееся выражение запишем так:
Это якобиан преобразования. Окончательно получаем:
А для общего случая:
Цилиндрические координаты:
Переходим от координаты M(x,y,z) к M(ρ,φ,z). Это цилиндрические координаты, где:
Получаем, что .
Сферические координаты:
Получаем элемент объёма сферических координат: .
28. Вычисление площади гладкой поверхности, заданной параметрически и в явном виде.
Рассмотрим кусок поверхностиS, заданной уравнением F=(x,y,z)=0. Пусть выполняется условие , что означает, что в каждой точке поверхности существует нормаль с направляющим вектором . Разобьем поверхность S сеткой гладких кривых на элементарные области (разбиение Z). Пусть – наибольший из диаметров элементарных областей. Если независимо от разбиения Z существует , то он и называется площадью данной поверхности. Пусть S однозначно проектируется на плоскость xy и G – это проекция. Элементу площади dxdy области G на плоскости xy соответствует элемент площади поверхности S, равный , где – угол между нормалью к поверхности S и осью Z. Поэтому вычисление площади поверхности сводится к вычислению двойного интеграла по проекции поверхности на плоскость. Если поверхность задана уравнением , , а нормаль представляет собой градиент функции, то есть: , то и площадь поверхности вычисляется по формуле:
, здесь G – проекция поверхности S на плоскость xy.
Если поверхность однозначно проектируется на другие координатные плоскости, то соответственно изменится формула вычисления площади поверхности.
Если кривая задана параметрическими уравнениями и , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми и и отрезком [a,b] оси Ox, выражается формулой где определяются из уравнений
Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением и двумя полярными радиусами находится по формуле
.
29. Определение криволинейных интегралов первого и второго рода, их основные свойства и вычисление.
Определение криволинейного интеграла первого рода, его основные свойства и вычисление.
Кривая должна быть простой кривой, то есть .
Пусть кривая будет разбита точками разбиения. Составим интегральную сумму.
Полученный интеграл называется криволинейным интегралом первого рода.
На словах можно сказать так. Если существует предел интегральной суммы (см. выше) при стремлении к нулю наибольшей из длин Δlk (то есть ), то этот предел называется криволинейным интегралом первого рода от функции f(x,y) по кривой L и обозначается символомили.
Если кривая задана не параметрически, а, к примеру, так: , тогда.
Основные свойства:
Линейность:
Аддитивность (если дуга AB составлена из двух дуг AC и CB):
Монотонность: если f<=g на L, то:
Изменение направления обхода кривой интегрирования не влияет на знак:
Оценка модуля интеграла:
Вычисление. Пусть L – кривая, как на рисунке, заданная параметрически. Пусть функция f(x,y) определена и интегрируема вдоль кривой l как криволинейный интеграл первого рода. Тогда: .
Таким образом, для вычисления по длине дуги АВ надо, используя параметрическое уравнение кривой, выразить подынтегральную функцию через параметр t, заменить dl дифференциалом дуги в зависимости от параметра t и проинтегрировать полученное выражение по t.
Определение криволинейного интеграла второго рода, его основные свойства и вычисление. Связь с интегралом первого рода.
Пусть кривая L на координатной плоскости Оху задана параметрически уравнениями. L называется простой (плоской) незамкнутой кривой, если функции,непрерывны наи различным значениям параметра t из сегментасоответствуют различные точки,. Если точкасовпадает с точкой, а остальные точки не являются кратными, то L называется простой замкнутой кривой. Простая кривая L называется спрямляемой, если существует предел (длинa кривой L) длин ломаных, вписанных в кривую, при Δt → 0.
Пусть на кривой AB заданы две функции, P(x, y) и Q(x, y). Разобьем сегмент на n частей точками. Кривая АВ разобьется на n частей точкамив направлении от A к B. Пусть– координаты точки,,,– длина дуги. На каждой дугевозьмем некоторую точку (координаты) и составим две интегральные суммы:,. Если существует предел интегральной суммыпри стремлении к нулю наибольшей из длин, то этот предел называется криволинейным интегралом второго рода. Сумманазывается общим криволинейным интегралом второго рода.
Из определения криволинейного интеграла второго рода следует, что при изменении направления обхода кривой AB изменяется и знак интеграла . Аналогично вводитсядля пространственной кривой, заданной параметрически
Криволинейные интегралы обладают теми же свойствами, что и обычные определенные: Линейность . Аддитивность:. Монотонность: если fg, то.
Кривая L кусочно-гладкая, если она непрерывна и распадается на конечное число не имеющих общих внутренних точек кусков, каждый из которых представляет собой гладкую кривую.
Вычисление криволинейного интеграла второго рода с помощью определенного интеграла.
Если AB – кусочно-гладкая кривая, а функции Р=Р(x,y) и Q=Q(x,y) кусочно непрерывны вдоль кривой AB, то справедливо равенство: =.
Если кривая AB задана уравнением y = у(x), a≤x≤b, и имеет кусочно-непрерывную производную, а функции P(x,y) и Q(x,y) кусочно непрерывны вдоль кривой AB, то имеет место равенство:=.
Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода.
Пусть AB− кусочно гладкая кривая, функции Р=P(x,y) и Q=Q(x,y) кусочно непрерывны вдоль кривой AB и − единичный касательный вектор к кривой AB в точке M(x,y), причем направлениесоответствует направлению движения от А к В (α − угол между векторомв точке M(x, y) и осью Oх).. Для пространственной кривой справедлива аналогичная теорема:.
Из лекций:
Это и есть криволинейный интеграл второго рода.
– то же самое, только по y.
Каждый интеграл второго рода может быть сведён к первому роду.
или