Часть III. Электричество и магнетизм

ЭЛЕКТРОСТАТИКА

Тема 1. Теорема Остроградского-Гаусса для электростатического поля

Электростатическое поле – это особый вид материи, с помощью которой происходит взаимодействие заряженных тел.

Точечным называется заряд, сосредоточенный на теле, размерами которого можно пренебречь по сравнению с расстоянием до других заряженных тел, с которыми он взаимодействует.

Закон Кулона: сила взаимодействияFмежду двумя неподвижными точечными зарядами q₁иq₂прямопропорциональна величинам этих зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстоянияrмежду ними:

,

где (e₀– электрическая постоянная);

e– диэлектрическая проницаемость среды, показывающая во сколько раз сила взаимодействия зарядов в данной среде меньше, чем в вакууме.

Кулоновская сила направлена по прямой, соединяющей взаимодействующие точечные заряды, соответствует притяжению в случае разноименных зарядов и отталкиванию в случае одноименных зарядов. Элект­рические поля, которые создаются неподвижными электрическими зарядами, называ­ютсяэлектростатическими.

Для обнаружения и опытного исследования электростатического поля можно использовать пробный точечный заряд q₀ . Если этот заряд поместить в какую- либо точку электростатического поля, то на него будет действовать сила, величина и направление которой определяет силовую характеристику электростатического поля, носящую название напряженности электростатического поля.

Напряженность электростатического поляв данной точке есть физическая величина, определяемая силой, действующей на пробный точечный положительный заряд q₀ , помещенный в эту точку поля, то есть:

.

Напряжённость электростатического поля, создаваемого точечным зарядом q в любой точке поля, находящейся на расстоянии r от этого заряда:

.

Электростатическое поле может быть изображено графически с помощью силовых линий. Силовая линия —это такая линия, касательная в каждой точке к которой совпадает по направлению с вектором напряженности электростатическго поля в данной точке (рис. 1, 2).

Рис. 1 Рис. 2

Если поле создается точечным зарядом, то силовые линии – это радиальные прямые, выходящие из положительного заряда (рис. 2, а), и входя­щие в отрицательный заряд (рис. 2,б).

С помощью силовых линий можно характеризовать не только направление, но и величину напряженности электростатического поля, связывая её с густотой силовых линий. Большей густоте силовых линий соответствует большая величина напряженности (рис. 1, 2). Количественно числу силовых линий, прони­зывающих единичную площадку, расположенную перпендикулярно силовым линиям, ставится в соответствие величина напряженности электростатического поля. В этом случае определенному заряду q, создающему поле, соответствует определенное числоNсиловых линий, выходящих (для) из заряда или входящих (для) в заряд, а именно:.

Поток вектора напряженностиэлектростатического поля через произвольную площадкуSхарактеризуется числом силовых линий, пронизывающих данную площадкуS.

Если площадка S перпендикулярна силовым линиям (рис. 3), то потокФ_Евектора напряженностичерез данную площадкуS :.

Рис. 3 Рис. 4

Если же площадка S расположена неперпендикулярно силовым линиям электро-статического поля (рис. 4), то поток векторачерез данную площадкуS :

Рис. 3

,

где α– угол между векторами напряженностии нормалик площадкеS.

Для того, чтобы найти поток Ф_Е вектора напряженностичерез произвольную поверхностьS, необходимо разбить эту поверхность на элементарные площадкиdS (рис. 5), определить элементарный потокdФ_Ечерез каждую элементарную площадкуdSпо формуле:,

а затем все эти элементарные потоки dФ_Есложить, что приводит к интегрированию:

,

где α– угол между векторами напряженностии нормалик данной элементарной площадкеdS .

Рис. 7

Если ввести вектор (рис. 5) как вектор, равный по величине площади площадкиdSи направленный по вектору нормалик площадкеdS , то величина, гдеa – угол между векторамииможет быть записана в виде скалярного произведения векторови, то есть, как, а полученное соотношение для потока векторапримет вид:

.

Теорема Остроградского - Гаусса для электростатического поля.Теорема Остроградского - Гаусса для электростатического поля связывает между собой величину потока Ф_Евектора напряженности электростатического поля в вакуумечерез произвольную замкнутую поверхностьS с величиной заряда q,заключенного внутри даннойзамкнутой поверхностиS (рис. 6).

Поскольку все силовые линии, выходящие из заряда (для ) или входящие в заряд (для), пронизывают произвольную замкнутую поверхностьS, охватывающую этот заряд (рис. 6), то величина потокаФ_Евектора напряженности электростатического поля через эту произвольную замкнутую поверхностьS будет определяться числомNсиловых линий, выходящих из заряда (для) или входящих в заряд (для):

Рис. 6

.

Это соотношение есть теорема Остроградского-Гаусса для электростатического поля.

Так как поток считается положитель­ным, если силовые линии выходят из поверхности S, и отрицательным для линий, входящих в поверхность S, то в случае, если внутри произвольной замкнутой поверхности Sнаходится не один, а несколько (n) разноименных зарялов, тотеорема Остроградского - Гауссадля электростатического поля формулируется следующим образом:

поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме через произ­вольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на e₀ :

.

В общем случае электрические заряды могут быть распределены внутри объёма, ограниченного замкнутой поверхностью S, с некоторой объемной плотностью(),различной в разных местах пространства. Тогда суммарный заряд, заключенный внутри этой замкнутой поверхностиS, охватывающей объемV, равен:.

В таком случае теорема Остроградского - Гауссаприобретает вид:

.

Напряженность электростатического поля зависит от диэлектрических свойств среды. В диэлектрике напряженность поля меньше, чем напряженность внешнего электростатического поля в вакууме, в котором находится диэлектрик, вe раз (e – диэлектрическая проницаемость среды), а модуль вектора, переходя через границу диэлектриков, скачко­образно изменяется. Поэтому для характеристики электростатического поля, кроме вектора напряженности, введен вектор электрического смещения ,модуль которого не изменяется при переходе из одной диэлектрической среды в другую.

Вектор электрического смещения по определению:.

Используя то, что в вакууме ,теорема Остроградского-Гауссадля электростатического поля может быть переформулирована следующим образом:

,

то есть поток вектора смещения электростатического поля через произ­вольную замкнутую поверхностьSравен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов.

В случае, если электрические заряды распределены внутри объёма V, ограни-ченного замкнутой поверхностью S, с некоторой объемной плотностью,теорема Остроградского-Гауссадля электростатического поля может быть переформулирована сдедующим образом:

.