![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Клевлеев в.М. Статистические методы контроля и управления качеством
- •1 Качество и обеспечение качества
- •1.1 Качество как стратегическая цель предприятия
- •1.2 Различия в качестве и их причины
- •1.3 Обеспечение качества
- •Обеспечение качества
- •1.5 Систематизация методов статистического обеспечения качества
- •Статистическое обеспечение качества
- •2 Основы статистического обеспечения качества
- •2.1 Распределение признаков качества
- •2.1.1 Распределение дискретных признаков
- •2.1.1.1 Равномерное распределение и некоторые понятия теории статистических распределений
- •2.1.1.2 Распределение Бернулли
- •2.1.1.3 Гипергеометрическое распределение
- •2.1.1.4 Биномиальное распределение
- •2.1.1.5 Распределение Пуассона
- •2.1.2 Распределение непрерывных признаков
- •2.1.2.1 Равномерное распределение
- •2.1.2.2 Экспоненциальный (показательный) закон распределения
- •2.1.2.3 Нормальный (гауссовский) закон распределения
- •Замечание. Очевидно, что события, состоящие в осуществлении неравенства и, противоположные. Поэтому, если вероятность осуществления неравенстваравна, то вероятность неравенстваравна.
- •2.2 Статистическая проверка статистических гипотез
- •2.2.1 Процедура проверки статистических гипотез и свойства параметрических критериев
- •2.2.1.1 Процедура проверки статистической гипотезы
- •1. Определение генеральной совокупности и типа распределения
- •2. Формулировка гипотезы
- •3. Определение контрольной величины и ее распределение в случае принятия гипотезы
- •4. Задание уровня значимости и определение области отклонения гипотезы
- •5. Принятие решения и его интерпретация
- •2.2.1.2 Примеры проверки статистических гипотез
- •2.2.1.2.1Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения
- •2.2.1.2.1.1Среднее квадратическое отклонениеизвестно
- •2.2.1.2.1.2Среднее квадратическое отклонениенеизвестно
- •2.2.1.2.1.3Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического отклонениянормального распределения
- •2.2.1.2.1.4Оценка значимости отношений дисперсий двух нормально распределенных совокупностей
- •2.2.1.2.1.5Проверка гипотез относительно параметров нормально распределенных генеральных совокупностей
- •2.2.1.2.1.6 Последовательный анализ
- •2.3 Выборки значений показателей качества
- •2.3.1 Основные понятия теории выборочного метода
- •2.3.2 Методы реализации случайного отбора выборок штучной продукции
- •0 1 2 . . . . . . . . . . . 2 1 0
- •2.3.3 Обеспечение представительности выборок
- •2.3.4 Выборочные характеристики и их свойства
- •3 Приемочный контроль
- •3.1 Основные понятия
- •3.1.1 Общие требования
- •3.1.2 Выбор планов и схем статистического приемочного контроля качества и требования к достоверности контроля
- •3.2 Статистический приемочный контроль по количественному признаку
- •3.2.1 Взаимосвязь между долей брака в партии и уровнем настройки производственного процесса
- •3.2.2 Планы выборочного контроля при одностороннем ограничении и известной дисперсии
- •3.2.2.1 Описание метода контроля и выбор контрольных величин
- •3.2.2.2 Оперативная характеристика и ее параметры
- •3.2.2.3 Построение плана выборочного контроля при заданных рисках производителя и потребителя
- •3.2.3 Планы выборочного контроля при одностороннем ограничении и неизвестной дисперсии
- •3.2.3.1 Контрольные величины
- •3.2.3.2 Оперативная характеристика и построение плана контроля при заданном риске потребителя и производителя
- •3.2.4 План выборочного контроля при двустороннем ограничении
- •3.2.5 Национальные стандарты приемочного контроля по количественному признаку
- •3.2.5.1 Выборочный контроль по количественному признаку на основе приемлемого уровня качества
- •3.2.5.2 Выборочный контроль по количественному признаку на основе нормативного уровня несоответствий
- •3.2.5.3 Последовательные планы выборочного контроля по количественному признаку
- •3.2.5.4 Выборочный контроль нештучной продукции
- •3.3 Статистический приемочный контроль по качественному признаку
- •3.3.1 Однократные планы контроля
- •3.3.1.1 Описание метода контроля. Использование теоремы Моода
- •3.3.1.2 Оперативная характеристика при гипергеометрической функции распределения числа дефектных изделий
- •3.3.1.3 Биномиальная оперативная характеристика
- •3.3.1.4 Оперативная характеристика при распределении Пуассона
- •3.3.1.5 Сравнение трех оперативных характеристик
- •3.3.2 Параметры простых планов контроля
- •3.3.2.1 Квантили оперативных характеристик
- •0 0.1 Р0 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
- •3.3.2.2 Средний выходной уровень дефектности, предел среднего выходного уровня дефектности (и)
- •3.3.2.3 Среднее число проконтролированных изделий в партии и доля проконтролированных изделий (и)
- •3.3.2.4 Контроль с прерыванием и средний объем выборки ()
- •3.3.3 Построение простых планов контроля с заданными свойствами
- •3.3.3.1 Задание риска потребителя и риска поставщика
- •3.3.3.2 Другие исходные данные
- •3.3.4 Двукратные планы выборочного контроля
- •3.3.4.1 Описание метода контроля
- •3.3.4.2 Оперативная характеристика
- •3.3.4.3 Средний объем выборки
- •3.3.4.4 Другие параметры плана
- •3.3.4.5 Эквивалентные однократные и двукратные планы выборочного контроля
- •3.3.5 Многократные планы контроля
2.1.1.3 Гипергеометрическое распределение
Пусть
из урны с
шарами,
из которых черные, а остальные
шаров белые, т.е. из распределенной по
Бернулли конечной совокупности, берется
выборка объемом
без
возвращения.
Вытягивание черного шара означает
«успех». Тогда общее число
успехов в выборке имеетгипергеометрическое
распределение.
Гипергеометрическое
распределение типично для контроля по
качественному признаку. Генеральной
совокупностью в этом случае является
проверяемая партия объемом
,
в которой
изделий дефектны (значение
неизвестно). Обнаружение дефектного
элемента интерпретируется как «успех».
Введенное в (2.8) отношение
,
обозначающее в приемочном контролеуровень
дефектности
или долю
брака,
характеризуют качество партии изделий.
Гипергеометрическое
распределение
имеет вид:
при
в противном случае,
,
(2.16)
где
.
В
зависимости (2.16) в знаменателе
стоит
число
всех возможных выборок объемом
из генеральной совокупности с
элементами (выборки берутся без
возвращения и без учета последовательности
отобранных изделий). Вчислителе
стоит число всех тех выборок (без
возвращения и без учета последовательности
отобранных изделий), которые содержат
«успехов» из общего возможного числа
«успехов»
,
и
«неудач» из общего возможного числа
«неудач»
,
то есть
.
Поэтому выражение (2.16) дает пример
классическогоопределения
вероятности: отношение числа «успехов»
к числу всех возможных случаев.
Для
функции распределения
следует:
при
при
при
,
,
.
(2.17)
Функцию распределения (2.17) нельзя упростить и представить аналитически, но можно вычислить и/или табулировать, что частично проделано и представлено в специальной литературе (см. табл.3.1).
Учитывая,
что
при контроле по качественному признаку,
математическое ожидание и дисперсия
гипергеометрического распределения
соответственно равны:
,
(2.18а)
.
(2.18б)
На практике часто используются рекуррентные (возвратные) соотношения:
,
(2.19а)
.
(2.19б)
Гипергеометрическое
распределение симметрично относительно
параметров
и
,
поэтому
;
(2.20а)
.
(2.20б)
Если элементы выборки и остатка партии, распределенной по закону Бернулли, разделить на две части по принципу «успех» (дефектные элементы) - «неудача» (годные элементы), то получим результаты, представленные в табл.2.1.
Таблица 2.1. Результаты деления выборки и остатка партии
Совокупность |
Проявление |
Объем совокупности | |
Успех |
Неудача | ||
Выборка |
|
|
|
Остаток партии |
|
|
|
Генеральная совокупность |
|
|
|
Каждую из четырех величин, записанных в средней части табл.2.1, рассматривают как реализацию случайной переменной, имеющей гипергеометрическое распределение, каждый раз с другими параметрами. Эти параметры стоят в конце соответствующей строки или столбца. Поэтому распределение вероятностей иногда представляют в виде:
,
(2.21а)
,
(2.21б)
.
(2.21в)
Следует
отметить, что и границы
и
в (2.16) можно получить из табл.2.1, если
учесть, что величины во внутренних полях
таблицы должны быть положительными.
Аналогично (2.11) для функции распределения имеем:
,
(2.22а)
,
(2.22б)
.
(2.22в)
Гипергеометрическое
распределение трудно представить в
виде таблицы, поскольку оно зависит от
трех параметров
и
.
Пример
2.6. На предприятие
поступает партия конденсаторов объемом
,
из которых
изделий дефектны. Из этой совокупности
берут выборку без возвращения объемом
.
Пусть
обозначает число дефектных конденсаторов
в выборке. Вычислите вероятности
возможных значений
.
Вычислите также моду, математическое
ожидание и дисперсию
.
Случайная
величина
,
имеет распределение
.
Поскольку границы
и
составляют
,
а
,
то для
можно записать:
.
Значения
дл
не внесены в многие таблицы, поэтому
сначала вычислим
,
используя определение биномиальных
коэффициентов
,
.
Поэтому:
0.310563.
Другие вероятности вычисляем с помощью рекуррентных (возвратных) соотношений:
,
,
,
,
.
Таким
образом, мода
,
а математическое ожидание
и дисперсия
равны соответственно:
,
.
Пример 2.7. Докажите справедливость (2.20а)
Равенство
можно
доказать, воспользовавшись (2.16) и
подробно расписав выражения для
соответствующих биномиальных коэффициентов
,
.
Как видно, представленные выражения тождественны.
При
рассмотрении контроля с прерыванием
по качественному признаку очень часто
используется так называемое отрицательное
гипергеометрическое распределение.
Оно базируется на следующей модели: из
урны с
шарами, из которых
шаров черные, а оставшиеся
белые, берут шары без возвращения до
тех нор, пока не вытянут
-ый
черный шар (
).
Черным шарам при контроле качества
соответствуют дефектные элементы в
партии. Тогда проверяемой переменной
в этой модели будет общее число
тех шаров, которые следует вытянуть,
чтобы встретился
-ый
черный шар, то есть
- это случайный объем выборки (или число
проконтролированных изделий). Отрицательное
гипергеометрическое распределение
называют такжегипергеометрическим
распределением времени ожидания.
Распределение
вероятностей
выглядит следующим образом:
при
в противном
случае.
,
(2.23а)
П
при
,
,
с которой при первых
попытках получают точно
черных шара, поэтому (2.23а) можно представить
как
в противном случае.
(2.23б)
Второй
сомножитель в (2.23а) определяет условную
вероятность получения черного шара при
-ой
попытке, если перед этим было вытянуто
черных шаров.
Выписывая биномиальные коэффициенты в (2.23а) и объединяя их со вторым сомножителем, можно получить третью форму представления отрицательного гипергеометрического распределения:
в противном
случае.
при
,
(2.23б)
(2.23в)
Функцию
распределения
вначале представим в виде
при
при
при
,
,
.
(2.24а)
После некоторых преобразований с учетом функции (2.17) гипергеометрического распределения получим другую форму представления:
.
(2.24б)
Без
доказательства приведем следующие
свойства случайной переменной
,
имеющей отрицательное гипергеометрическое
распределение:
,
(2.25а)
.
(2.25б)
Аналогично имеют место рекуррентные соотношения:
,
(2.26а)
.
(2.26б)
Пример
2.8. Из
генеральной совокупности
,
в которой дефектных изделий
,
берутся конденсаторы до тех пор, пока
не обнаружат третий бракованный. В этом
случае величина
обозначает достигаемый объем выборки
(число конденсаторов, отобранных до
обнаружения третьего дефектного
элемента). Вычислите вероятность того,
что объем данной выборки составит
конденсаторов. Вычислите соответствующую
вероятность для
и
.
Вычислите математическое ожидание и
дисперсию
?
Случайная
величина
имеет отрицательное гипергеометрическое
распределение с
.
Так как все указанные объемы выборок
лежат между
и
,
то из (2.23а) следует, что
.
С
учетом того,
,
получим
.
Другие вероятности вычисляем с помощью рекуррентных соотношений:
.
.
.
.
Математическое ожидание и дисперсия составляют:
;
.