![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Клевлеев в.М. Статистические методы контроля и управления качеством
- •1 Качество и обеспечение качества
- •1.1 Качество как стратегическая цель предприятия
- •1.2 Различия в качестве и их причины
- •1.3 Обеспечение качества
- •Обеспечение качества
- •1.5 Систематизация методов статистического обеспечения качества
- •Статистическое обеспечение качества
- •2 Основы статистического обеспечения качества
- •2.1 Распределение признаков качества
- •2.1.1 Распределение дискретных признаков
- •2.1.1.1 Равномерное распределение и некоторые понятия теории статистических распределений
- •2.1.1.2 Распределение Бернулли
- •2.1.1.3 Гипергеометрическое распределение
- •2.1.1.4 Биномиальное распределение
- •2.1.1.5 Распределение Пуассона
- •2.1.2 Распределение непрерывных признаков
- •2.1.2.1 Равномерное распределение
- •2.1.2.2 Экспоненциальный (показательный) закон распределения
- •2.1.2.3 Нормальный (гауссовский) закон распределения
- •Замечание. Очевидно, что события, состоящие в осуществлении неравенства и, противоположные. Поэтому, если вероятность осуществления неравенстваравна, то вероятность неравенстваравна.
- •2.2 Статистическая проверка статистических гипотез
- •2.2.1 Процедура проверки статистических гипотез и свойства параметрических критериев
- •2.2.1.1 Процедура проверки статистической гипотезы
- •1. Определение генеральной совокупности и типа распределения
- •2. Формулировка гипотезы
- •3. Определение контрольной величины и ее распределение в случае принятия гипотезы
- •4. Задание уровня значимости и определение области отклонения гипотезы
- •5. Принятие решения и его интерпретация
- •2.2.1.2 Примеры проверки статистических гипотез
- •2.2.1.2.1Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения
- •2.2.1.2.1.1Среднее квадратическое отклонениеизвестно
- •2.2.1.2.1.2Среднее квадратическое отклонениенеизвестно
- •2.2.1.2.1.3Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического отклонениянормального распределения
- •2.2.1.2.1.4Оценка значимости отношений дисперсий двух нормально распределенных совокупностей
- •2.2.1.2.1.5Проверка гипотез относительно параметров нормально распределенных генеральных совокупностей
- •2.2.1.2.1.6 Последовательный анализ
- •2.3 Выборки значений показателей качества
- •2.3.1 Основные понятия теории выборочного метода
- •2.3.2 Методы реализации случайного отбора выборок штучной продукции
- •0 1 2 . . . . . . . . . . . 2 1 0
- •2.3.3 Обеспечение представительности выборок
- •2.3.4 Выборочные характеристики и их свойства
- •3 Приемочный контроль
- •3.1 Основные понятия
- •3.1.1 Общие требования
- •3.1.2 Выбор планов и схем статистического приемочного контроля качества и требования к достоверности контроля
- •3.2 Статистический приемочный контроль по количественному признаку
- •3.2.1 Взаимосвязь между долей брака в партии и уровнем настройки производственного процесса
- •3.2.2 Планы выборочного контроля при одностороннем ограничении и известной дисперсии
- •3.2.2.1 Описание метода контроля и выбор контрольных величин
- •3.2.2.2 Оперативная характеристика и ее параметры
- •3.2.2.3 Построение плана выборочного контроля при заданных рисках производителя и потребителя
- •3.2.3 Планы выборочного контроля при одностороннем ограничении и неизвестной дисперсии
- •3.2.3.1 Контрольные величины
- •3.2.3.2 Оперативная характеристика и построение плана контроля при заданном риске потребителя и производителя
- •3.2.4 План выборочного контроля при двустороннем ограничении
- •3.2.5 Национальные стандарты приемочного контроля по количественному признаку
- •3.2.5.1 Выборочный контроль по количественному признаку на основе приемлемого уровня качества
- •3.2.5.2 Выборочный контроль по количественному признаку на основе нормативного уровня несоответствий
- •3.2.5.3 Последовательные планы выборочного контроля по количественному признаку
- •3.2.5.4 Выборочный контроль нештучной продукции
- •3.3 Статистический приемочный контроль по качественному признаку
- •3.3.1 Однократные планы контроля
- •3.3.1.1 Описание метода контроля. Использование теоремы Моода
- •3.3.1.2 Оперативная характеристика при гипергеометрической функции распределения числа дефектных изделий
- •3.3.1.3 Биномиальная оперативная характеристика
- •3.3.1.4 Оперативная характеристика при распределении Пуассона
- •3.3.1.5 Сравнение трех оперативных характеристик
- •3.3.2 Параметры простых планов контроля
- •3.3.2.1 Квантили оперативных характеристик
- •0 0.1 Р0 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
- •3.3.2.2 Средний выходной уровень дефектности, предел среднего выходного уровня дефектности (и)
- •3.3.2.3 Среднее число проконтролированных изделий в партии и доля проконтролированных изделий (и)
- •3.3.2.4 Контроль с прерыванием и средний объем выборки ()
- •3.3.3 Построение простых планов контроля с заданными свойствами
- •3.3.3.1 Задание риска потребителя и риска поставщика
- •3.3.3.2 Другие исходные данные
- •3.3.4 Двукратные планы выборочного контроля
- •3.3.4.1 Описание метода контроля
- •3.3.4.2 Оперативная характеристика
- •3.3.4.3 Средний объем выборки
- •3.3.4.4 Другие параметры плана
- •3.3.4.5 Эквивалентные однократные и двукратные планы выборочного контроля
- •3.3.5 Многократные планы контроля
2.2.1.2.1.2Среднее квадратическое отклонениенеизвестно
Пусть
количественный признак
генеральной совокупности распределен
нормально, причем среднее квадратическое
отклонение
неизвестно. Требуется оценить
неизвестное математическое ожидание
с помощью доверительных интервалов.
Разумеется, невозможно воспользоваться
предыдущими результатами, в которых
предполагалось известным.
Введем
по данным выборки случайную величину
(ее возможные значения будем обозначать
через
):
,
(2.78)
которая
имеет распределение Стьюдента (настоящее
имя William
Sealy
Gosset)
с
степенями свободы. Здесь
- выборочная средняя;
- «исправленное» среднее квадратическое
отклонение;
- объем выборки.
Плотность распределения Стьюдента:
,
(2.79)
где
.
(2.80)
Мы
видим, что распределение Стьюдента
определяется параметром
- объемом выборки (или числом степеней
свободы
)
и не зависит от неизвестных параметров
и
.
Эта особенность
является большим достоинством
распределения Стьюдента. Поскольку
- четная функция от
,
вероятность осуществления неравенства
определяется так:
.
(2.81)
Заменим неравенство в круглых скобках равносильным ему двойным неравенством, получим:
.
(2.82)
Итак,
пользуясь распределением Стьюдента,
определяют доверительный интервал
,
покрывающий неизвестный параметр
с надежностью
.
Здесь случайные величины
и
заменены неслучайными величинами
и
,
найденными по выборке. Воспользуемся
зависимостью (2.76), получим:
.
(2.83)
Итак,
поставленная задача решена. Число
определяется из равенства
или
.
По соответствующим таблицам квантилей
распределения
Стьюдента по заданным
и
можно найти
.
Примечание. В национальном стандарте ГОСТ Р 50779.21 «Статистические методы. Правила определения и методы расчета статистических характеристик по выборочным данным. Часть 1. Нормальное распределение» приведен следующий алгоритм точечного и интервального оценивания среднего значения при неизвестной дисперсии.
Исходные
данные:
объем выборки -
;
сумма значений наблюдаемых величин -
степени свободы -
;
выбранная доверительная вероятность
-
.
Алгоритм
вычислений:
по таблицам определяют квантили
распределения Стьюдента уровня
с
степенями свободы -
и
;
вычисляют
и
.
Тогда
точечная оценка математического ожидания
-.
Точечная
оценка дисперсии -
.
Двухсторонний
симметричный доверительный интервал
для математического ожидания
:
или
.
Односторонние
доверительные интервалы для математического
ожидания
:
или
.
Следствием
настоящих зависимостей является алгоритм
решения задачи сравнения неизвестного
среднего значения
с
заданным значением математического
ожидания
при неизвестной дисперсии:
-
в двухстороннем случае предположение
равенства выборочного среднего значения
и
заданного математического ожидания
(нулевая гипотеза)отклоняется,
если:
;
-
в одностороннем случае предположение
о том, что выборочное среднее
не
меньше чем
(нулевая гипотеза)отклоняется,
если:
;
-
в одностороннем случае предположение
о том, что выборочное среднее
не
больше чем
(нулевая гипотеза)отклоняется,
если:
.
В качестве примера использования – проверка правильности настройки технологического процесса на середину поля допуска или на заданное оптимальное значение, при этом точность технологического процесса заранее неизвестна. Невыполнение этих условий свидетельствует о несоответствии фактического центра группирования контролируемого параметра в изготавливаемой партии изделий центру поля допуска, что может привести к повышению уровня брака на последующих технологических операциях.
Метод может быть использован и при контрольных проверках, например, при отпуске бензина или масел на автозаправочных станциях, когда необходимо ответить на вопрос: являются ли отклонения от точного веса случайными или имеется систематическое обвешивание покупателей.
Настоящий
подход применяется при решении задачи
о сравнении двух неизвестных средних
значений
и
при неизвестных, но равных дисперсиях.
В этом случае высчитывают:
-
;
-
;
-
степени свободы
;
-
.
Тогда сравнение средних значений двух совокупностей:
- в двухстороннем случае предположение равенства средних значений (нулевая гипотеза) отклоняется, если:
;
-
в одностороннем случае предположение
о том, что первое среднее
не меньше второго
(нулевая гипотеза)отклоняется,
если:
;
-
в одностороннем случае предположение
о том, что первое среднее
не больше второго
(нулевая гипотеза)отклоняется,
если:
.
В
качестве примера использования – оценка
стабильности технологического процесса,
при этом измерения контролируемого
параметра
осуществляют
в двух выборках объемом
и
соответственно, взятых в начале
и конце
интервала времени,
в течение которого контролируется
стабильность технологического процесса.
Применение этих задач встречается чаще, так как в большинстве случаев в двух сравниваемых процессах или совокупностях дисперсии неизвестны.
Пример
2.32.
Количественный признак
генеральной совокупности распределен
нормально. По выборке объема
найдены выборочное среднее
и «исправленное» среднее квадратическое
отклонение
.
Необходимо оценить неизвестное
математическое ожидание
при помощи доверительного интервала с
надежностью
.
Найдем
.
Пользуясь таблицей квантилей
распределения
Стьюдента, при
и
находим
для
.
Найдем доверительные границы:
Итак,
с надежностью
неизвестный
параметр
заключен в доверительный интервал
.
Примечание. Из предельных соотношений
;
,
(2.84)
следует,
что при неограниченном возрастании
объема выборки
распределение Стьюдента стремится к
нормальному. Поэтому практически при
можно вместо распределения Стьюдента
пользоваться нормальным распределением.
Однако
важно подчеркнуть, что для малых выборок
,
в особенности для малых значений
замена распределения нормальным приводит
к грубым ошибкам, а именно к неоправданному
сужению доверительного интервала,
т. е. к повышению точности оценки.
Например, если
и
,
то, используя таблицу квантилей
распределения Стьюдента, найдем
,
а таблицу нормированного нормального
распределения, найдем
,
т.е. доверительный интервал в последнем
случае окажется более узким, чем найденный
по распределению Стьюдента.
То обстоятельство, что распределение Стьюдента при малой выборке дает не вполне определенные результата (широкий доверительный интервал), вовсе не свидетельствует о слабости метода Стьюдента, а объясняется тем, что малая выборка содержит малую информацию об интересующем нас признаке.