![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Клевлеев в.М. Статистические методы контроля и управления качеством
- •1 Качество и обеспечение качества
- •1.1 Качество как стратегическая цель предприятия
- •1.2 Различия в качестве и их причины
- •1.3 Обеспечение качества
- •Обеспечение качества
- •1.5 Систематизация методов статистического обеспечения качества
- •Статистическое обеспечение качества
- •2 Основы статистического обеспечения качества
- •2.1 Распределение признаков качества
- •2.1.1 Распределение дискретных признаков
- •2.1.1.1 Равномерное распределение и некоторые понятия теории статистических распределений
- •2.1.1.2 Распределение Бернулли
- •2.1.1.3 Гипергеометрическое распределение
- •2.1.1.4 Биномиальное распределение
- •2.1.1.5 Распределение Пуассона
- •2.1.2 Распределение непрерывных признаков
- •2.1.2.1 Равномерное распределение
- •2.1.2.2 Экспоненциальный (показательный) закон распределения
- •2.1.2.3 Нормальный (гауссовский) закон распределения
- •Замечание. Очевидно, что события, состоящие в осуществлении неравенства и, противоположные. Поэтому, если вероятность осуществления неравенстваравна, то вероятность неравенстваравна.
- •2.2 Статистическая проверка статистических гипотез
- •2.2.1 Процедура проверки статистических гипотез и свойства параметрических критериев
- •2.2.1.1 Процедура проверки статистической гипотезы
- •1. Определение генеральной совокупности и типа распределения
- •2. Формулировка гипотезы
- •3. Определение контрольной величины и ее распределение в случае принятия гипотезы
- •4. Задание уровня значимости и определение области отклонения гипотезы
- •5. Принятие решения и его интерпретация
- •2.2.1.2 Примеры проверки статистических гипотез
- •2.2.1.2.1Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения
- •2.2.1.2.1.1Среднее квадратическое отклонениеизвестно
- •2.2.1.2.1.2Среднее квадратическое отклонениенеизвестно
- •2.2.1.2.1.3Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического отклонениянормального распределения
- •2.2.1.2.1.4Оценка значимости отношений дисперсий двух нормально распределенных совокупностей
- •2.2.1.2.1.5Проверка гипотез относительно параметров нормально распределенных генеральных совокупностей
- •2.2.1.2.1.6 Последовательный анализ
- •2.3 Выборки значений показателей качества
- •2.3.1 Основные понятия теории выборочного метода
- •2.3.2 Методы реализации случайного отбора выборок штучной продукции
- •0 1 2 . . . . . . . . . . . 2 1 0
- •2.3.3 Обеспечение представительности выборок
- •2.3.4 Выборочные характеристики и их свойства
- •3 Приемочный контроль
- •3.1 Основные понятия
- •3.1.1 Общие требования
- •3.1.2 Выбор планов и схем статистического приемочного контроля качества и требования к достоверности контроля
- •3.2 Статистический приемочный контроль по количественному признаку
- •3.2.1 Взаимосвязь между долей брака в партии и уровнем настройки производственного процесса
- •3.2.2 Планы выборочного контроля при одностороннем ограничении и известной дисперсии
- •3.2.2.1 Описание метода контроля и выбор контрольных величин
- •3.2.2.2 Оперативная характеристика и ее параметры
- •3.2.2.3 Построение плана выборочного контроля при заданных рисках производителя и потребителя
- •3.2.3 Планы выборочного контроля при одностороннем ограничении и неизвестной дисперсии
- •3.2.3.1 Контрольные величины
- •3.2.3.2 Оперативная характеристика и построение плана контроля при заданном риске потребителя и производителя
- •3.2.4 План выборочного контроля при двустороннем ограничении
- •3.2.5 Национальные стандарты приемочного контроля по количественному признаку
- •3.2.5.1 Выборочный контроль по количественному признаку на основе приемлемого уровня качества
- •3.2.5.2 Выборочный контроль по количественному признаку на основе нормативного уровня несоответствий
- •3.2.5.3 Последовательные планы выборочного контроля по количественному признаку
- •3.2.5.4 Выборочный контроль нештучной продукции
- •3.3 Статистический приемочный контроль по качественному признаку
- •3.3.1 Однократные планы контроля
- •3.3.1.1 Описание метода контроля. Использование теоремы Моода
- •3.3.1.2 Оперативная характеристика при гипергеометрической функции распределения числа дефектных изделий
- •3.3.1.3 Биномиальная оперативная характеристика
- •3.3.1.4 Оперативная характеристика при распределении Пуассона
- •3.3.1.5 Сравнение трех оперативных характеристик
- •3.3.2 Параметры простых планов контроля
- •3.3.2.1 Квантили оперативных характеристик
- •0 0.1 Р0 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
- •3.3.2.2 Средний выходной уровень дефектности, предел среднего выходного уровня дефектности (и)
- •3.3.2.3 Среднее число проконтролированных изделий в партии и доля проконтролированных изделий (и)
- •3.3.2.4 Контроль с прерыванием и средний объем выборки ()
- •3.3.3 Построение простых планов контроля с заданными свойствами
- •3.3.3.1 Задание риска потребителя и риска поставщика
- •3.3.3.2 Другие исходные данные
- •3.3.4 Двукратные планы выборочного контроля
- •3.3.4.1 Описание метода контроля
- •3.3.4.2 Оперативная характеристика
- •3.3.4.3 Средний объем выборки
- •3.3.4.4 Другие параметры плана
- •3.3.4.5 Эквивалентные однократные и двукратные планы выборочного контроля
- •3.3.5 Многократные планы контроля
2.2.1.2.1.6 Последовательный анализ
Для
проверки статистических гипотез наряду
со статистическими критериями,
основанными на анализе выборок заданного
объема, находят также применение
статистические критерии, в которых
требуемый объем выборки
,
число взятия выборок, необходимых
для принятия решения, заранее не заданы.
При использовании таких критериев в
процессе проверки гипотез объем выборки
последовательно увеличивают на единицу
и каждый раз решают, достаточны ли
имеющиеся данные для принятия решения
или нужно увеличивать выборку.
Такой вид статистических критериев относится к последовательному анализу и используется при разработке последовательных планов выборочного контроля и построении контрольных карт кумулятивных сумм.
Применяя
этот вид статистических критериев,
можно обойтись меньшими объемами
выборок. Рассмотрим теорию последовательного
анализа на примере, когда наблюдаемым
показателем качества является, например,
доля несоответствующих изделий и
необходимо проверить только простую
гипотезу
против конкурирующей гипотезы
.
Пусть
задана случайная переменная
,
распределение которой в генеральной
совокупности зависит от параметра
.
Переменная
может быть дискретной или непрерывной.
Упрощенно примем, что
может иметь только значения
и
.
Проверить нужно гипотезы:
.
.
(2.110)
Если
из генеральной совокупности взять
случайную выборку
)
с возвращением, тоотношение
вероятностей обнаружения в выборке
несоответствующих изделий
(2.111)
является
мерой правдоподобия для гипотез
и
.
Значение
большее единицы, говорит в пользу
,
значение
меньшее единицы - в пользу
.
Критерий, базирующийся на применении
контрольной величины
,
называетсякритерием
отношения вероятностей,
сокращенно
критерием
(
сокращение
для словосочетания Likelyhood-Quotient) .
Классический
критерий
Ноймана-Пирсона построен по схеме, когда
перед началом проведения процедуры
проверки задается объем выборки
и граничное значение
и по ним определяются
и
.
Разработанный
А.Wald
(1947) последовательный
критерий отношения вероятностей
работает с двумя граничными значениями
и
(
)
и переменным объемом выборки. Основная
идея этого критерия - контроль нужно
продолжать до тех пор, пока не выполнится
условие
,
то есть до тех пор, пока значение
не будет близко к единице (для этого
берут следующую выборку и для нее
вычисляют
и так до тех пор, пока не будет принята
одна из гипотез). При наступлении события
принимают решение в пользу
,
при
- в пользу
.
На практике обычно определяют верхние
границы
и
для вероятностей ошибок и с их помощью
вычисляют граничные значения
и
.
Обычно принимается:
,
(2.112а)
.
(2.112б)
Применим последовательный критерий отношения вероятностей к случаю, когда наблюдаемый признак качества в конечной генеральной совокупности может принимать только два значения, соответствующие годному и дефектному изделию.
Генеральная
совокупность (партия) распределена по
закону Бернулли и параметр распределения
,
то есть доля брака в партии, неизвестен.
Сначала примем для упрощения, что
может принимать только значения
и
.
Проверяем гипотезы
,
(2.113)
.
при
и заданных вероятностях ошибок
и
.
Если из партии взять случайную выборку
с возвращением объемом
(при достаточно большом объеме партии
это практически не имеет значения), то
является вероятностью получения
реализации
выборочного вектора
и поэтому функция правдоподобия для
выборки имеет вид
.
При
этом
обозначает число обнаруженных в выборке
дефектных изделий. Тогда отношение
вероятностей (135) составляет
.
(2.114)
Граничные
значения
и
можно вычислить согласно (2.112) и в случае
принять гипотезу
,
а при
- гипотезу
.
В случае, если
,
решение не принимается, берется еще
одно изделие и вычисляется
и т.д. Для практического использования
критерия отношения вероятностей
целесообразнее исходить не из условия
,
а из эквивалентного условия
:
.
(2.115)
Введем обозначения:
,
(2.116а)
,
(2.116б)
,
(2.116в)
и определим по (2.116) интервал
,
(2.117)
где
- накопленное число дефектных изделий.
Тогда получим цепочку эквивалентных отношений
.
При
использовании последовательного
критерия отношения вероятностей возможен
и другой подход. Для начального объема
выборки
при заданных
вычисляют коэффициенты (2.116), а затем -
границы интервала
.
Если число дефектных изделий отвечает
условию
,
то принимается гипотеза
;
при
принимается конкурирующая гипотеза
.
Если
,
то выборку увеличивают на одно изделие
и процедура повторяется с новым значением
.
Если
границы интервала
представить графически в виде функции
от
,
то получим две последовательности
точек, лежащих на параллельных полупрямых
с наклоном
.
Верхняя полупрямая называетсябраковочной
границей,
нижняя - приемочной
границей,
а лежащее между ними пространство -
областью
продолжения испытаний
(рис. 2.17).
Вышеизложенное без особых изменений можно применить и для сравнения гипотез:
(2.118)
при
.
Вероятности ошибок 1-го или 2-го рода
здесь не определяются однозначно, как
при проверке гипотез (2.113). Здесь можно
только задать наибольшую вероятность
ошибки 1-го рода на интервале
и наибольшую вероятность ошибки 2-го
рода на интервале
.
Пример
2.38 Пусть
задано
и
и
.
Вычислите с этими значениями отношение
вероятностей и объясните результат.
Решение. При заданных значениях
.
Этот
результат свидетельствует о том, что
выборочные данные при верности гипотезы
в 41.58 раз более вероятны, чем при верности
нулевой гипотезы
.
Рис.2.17 Диаграмма хода последовательного контроля
Применим
последовательный критерий отношения
вероятностей к генеральной совокупности,
элементы которой (носители признака
качества) обладают нормально распределенным
признаком качества
.
Математическое ожидание
неизвестно, дисперсия
-
известна. Предположим, что интересующий
нас параметр может иметь только два
возможных проявления: требуемый уровень
настройки
и нежелательный уровень
.
В этом случае проверяют гипотезы
(2.119)
с
параметром
и с заданными вероятностями ошибок
и
.
Функция правдоподобия имеет вид:
.
Для отношения вероятностей получаем:
.
(2.120)
Для
начального значения
вычислим контрольную величину и проверим,
выполняется ли условие
или
,
где
и
определяются по (2.112). В первом случае
принимают гипотезу
,
во втором
случае - гипотезу
,
а в последнем случае
увеличивается до
и процедура
повторяется.
Путем
логарифмирования можно упростить
процедуру проверки. Для контрольной
величины
получаем:
.
(2.121)
При
этом
обозначает нормализованную путем
деления на
сумму
отклонений выборочных значений
от математического ожидания
.
(2.122)
Введем обозначения:
,
(2.123а)
,
(2.123б)
(2.123в)
и определим аналогично (2.117) интервал
.
(2.124)
Тогда можно записать цепочку отношений эквивалентности
.
При
использовании последовательного
критерия отношения вероятностей можно
действовать и другим способом: для
начального значения
при заданных
и
вычисляют параметры
и
,
и тем самым
- границы интервала
.
Если контрольная величина
имеет такое значение
,
что
или
,
то принимают соответственно гипотезу
или
;
в противном случае - продолжают проверку.
Если верхние и нижние границы интервала
нанести на график в зависимости от
,
то получим две полупрямые, которые
называются соответственнобраковочной
и приемочной границами,
а область между ними - областью
продолжения контроля.
При
проверке гипотез (2.119) предполагалась
возможность положительного отклонения
от математического ожидания
.
Соответственно можно проверить и
гипотезы
(2.125)
при
(проверка на отрицательное отклонение).
Контрольный интервал определяется
здесь как
,
где
и
вычисляются по (2.123). Комбинируя (2.119) и
(2.125), приходим к возможности проверки
гипотез
.
(2.126)
Если
вероятность ошибки
1-го рода распределить поровну между
двумя возможными при гипотезе
отклонениями, тообласть
продолжения контроля
определится интервалом
.
(2.127)
В
силу того, что
делится на два возможных при
случая, то
в (2.112) нужно заменить на
,
то есть необходимые для определения
параметры
и
вычислять не по (2.123а, б), а как:
,
(2.128а)
.
(2.128б)
Графически
области продолжения контроля имеют
форму двух полос, составляющих букву
,
лежащую вдоль горизонтальной оси.
Внутренние и внешние границы этих полос
и образуют здесь браковочные и приемочные
границы.