![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Клевлеев в.М. Статистические методы контроля и управления качеством
- •1 Качество и обеспечение качества
- •1.1 Качество как стратегическая цель предприятия
- •1.2 Различия в качестве и их причины
- •1.3 Обеспечение качества
- •Обеспечение качества
- •1.5 Систематизация методов статистического обеспечения качества
- •Статистическое обеспечение качества
- •2 Основы статистического обеспечения качества
- •2.1 Распределение признаков качества
- •2.1.1 Распределение дискретных признаков
- •2.1.1.1 Равномерное распределение и некоторые понятия теории статистических распределений
- •2.1.1.2 Распределение Бернулли
- •2.1.1.3 Гипергеометрическое распределение
- •2.1.1.4 Биномиальное распределение
- •2.1.1.5 Распределение Пуассона
- •2.1.2 Распределение непрерывных признаков
- •2.1.2.1 Равномерное распределение
- •2.1.2.2 Экспоненциальный (показательный) закон распределения
- •2.1.2.3 Нормальный (гауссовский) закон распределения
- •Замечание. Очевидно, что события, состоящие в осуществлении неравенства и, противоположные. Поэтому, если вероятность осуществления неравенстваравна, то вероятность неравенстваравна.
- •2.2 Статистическая проверка статистических гипотез
- •2.2.1 Процедура проверки статистических гипотез и свойства параметрических критериев
- •2.2.1.1 Процедура проверки статистической гипотезы
- •1. Определение генеральной совокупности и типа распределения
- •2. Формулировка гипотезы
- •3. Определение контрольной величины и ее распределение в случае принятия гипотезы
- •4. Задание уровня значимости и определение области отклонения гипотезы
- •5. Принятие решения и его интерпретация
- •2.2.1.2 Примеры проверки статистических гипотез
- •2.2.1.2.1Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения
- •2.2.1.2.1.1Среднее квадратическое отклонениеизвестно
- •2.2.1.2.1.2Среднее квадратическое отклонениенеизвестно
- •2.2.1.2.1.3Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического отклонениянормального распределения
- •2.2.1.2.1.4Оценка значимости отношений дисперсий двух нормально распределенных совокупностей
- •2.2.1.2.1.5Проверка гипотез относительно параметров нормально распределенных генеральных совокупностей
- •2.2.1.2.1.6 Последовательный анализ
- •2.3 Выборки значений показателей качества
- •2.3.1 Основные понятия теории выборочного метода
- •2.3.2 Методы реализации случайного отбора выборок штучной продукции
- •0 1 2 . . . . . . . . . . . 2 1 0
- •2.3.3 Обеспечение представительности выборок
- •2.3.4 Выборочные характеристики и их свойства
- •3 Приемочный контроль
- •3.1 Основные понятия
- •3.1.1 Общие требования
- •3.1.2 Выбор планов и схем статистического приемочного контроля качества и требования к достоверности контроля
- •3.2 Статистический приемочный контроль по количественному признаку
- •3.2.1 Взаимосвязь между долей брака в партии и уровнем настройки производственного процесса
- •3.2.2 Планы выборочного контроля при одностороннем ограничении и известной дисперсии
- •3.2.2.1 Описание метода контроля и выбор контрольных величин
- •3.2.2.2 Оперативная характеристика и ее параметры
- •3.2.2.3 Построение плана выборочного контроля при заданных рисках производителя и потребителя
- •3.2.3 Планы выборочного контроля при одностороннем ограничении и неизвестной дисперсии
- •3.2.3.1 Контрольные величины
- •3.2.3.2 Оперативная характеристика и построение плана контроля при заданном риске потребителя и производителя
- •3.2.4 План выборочного контроля при двустороннем ограничении
- •3.2.5 Национальные стандарты приемочного контроля по количественному признаку
- •3.2.5.1 Выборочный контроль по количественному признаку на основе приемлемого уровня качества
- •3.2.5.2 Выборочный контроль по количественному признаку на основе нормативного уровня несоответствий
- •3.2.5.3 Последовательные планы выборочного контроля по количественному признаку
- •3.2.5.4 Выборочный контроль нештучной продукции
- •3.3 Статистический приемочный контроль по качественному признаку
- •3.3.1 Однократные планы контроля
- •3.3.1.1 Описание метода контроля. Использование теоремы Моода
- •3.3.1.2 Оперативная характеристика при гипергеометрической функции распределения числа дефектных изделий
- •3.3.1.3 Биномиальная оперативная характеристика
- •3.3.1.4 Оперативная характеристика при распределении Пуассона
- •3.3.1.5 Сравнение трех оперативных характеристик
- •3.3.2 Параметры простых планов контроля
- •3.3.2.1 Квантили оперативных характеристик
- •0 0.1 Р0 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
- •3.3.2.2 Средний выходной уровень дефектности, предел среднего выходного уровня дефектности (и)
- •3.3.2.3 Среднее число проконтролированных изделий в партии и доля проконтролированных изделий (и)
- •3.3.2.4 Контроль с прерыванием и средний объем выборки ()
- •3.3.3 Построение простых планов контроля с заданными свойствами
- •3.3.3.1 Задание риска потребителя и риска поставщика
- •3.3.3.2 Другие исходные данные
- •3.3.4 Двукратные планы выборочного контроля
- •3.3.4.1 Описание метода контроля
- •3.3.4.2 Оперативная характеристика
- •3.3.4.3 Средний объем выборки
- •3.3.4.4 Другие параметры плана
- •3.3.4.5 Эквивалентные однократные и двукратные планы выборочного контроля
- •3.3.5 Многократные планы контроля
3.2 Статистический приемочный контроль по количественному признаку
При контроле по количественному признаку (англ.: acceptance sampling for variables) интересующий нас признак качества имеет всегда непрерывное распределение. Как правило, предполагают, что признак качества в партии распределен точно или приближенно нормально. Выполнимость этого условия можно проверить, используя один из следующих критериев согласия:
-
критерия
(«хи-квадрат») или критерия Пирсона;
- критерия Колмогорова;
-
критерия Смирнова или критерия
(«омега – квадрат»).
Рис.3.4 Возможные действия с изделиями контролируемой партии и дефектными изделиями
Эти критерии согласия позволяют провести проверку гипотезы о соответствии опытного распределения случайной величины теоретическому.
Независимо от вида используемого критерия согласия в процессе проверки гипотезы о соответствии опытного распределения предполагаемому теоретическому распределению выполняют следующие процедуры:
-
проводят
измерений контролируемого параметра
с помощью средства измерения с ценой
деления шкалы
,
не превышающей 1/5 предполагаемой величины
стандартного отклонения исследуемого
распределения;
-
полученные результаты измерений
контролируемого параметра располагают
в порядке возрастания (),
образуя возрастающий статистический
ряд;
-
разделяют этот ряд на
интервалов;
-
подсчитывают абсолютную частость
попадания измеренных значений в каждый
интервал;
-
рассчитывают выборочные среднее
арифметическое значение
и стандартное отклонение
исследуемого распределения.
При
этом количество
измеряемых значений контролируемого
параметра должно быть больше 100, если
используют критерий Колмогорова и
,
и больше 50 при использовании критерия
.
Например,
для корректного применения критерия
необходимо, чтобы число интервалов
с шириной, равной
,
в зависимости от объема выборки
находилось в пределах:
-
при
-
при
-
при
При
критерий
применяют в исключительных случаях с
количеством интервалов
.
Если измерений
мало, то не следует применять критерий
.
В дальнейшем при рассмотрении контроля по количественному признаку мы ограничимся однократными планами контроля, то есть планами, которые предусматривают взятие только одной выборки из партии.
3.2.1 Взаимосвязь между долей брака в партии и уровнем настройки производственного процесса
Пусть
признак качества
- вес, длина, диаметр, прочность, имеет
точно или почти нормальное распределение.
Изделие будет тогда дефектным, когда
измеренное значение
случайной величины
меньше нижнего предельного значения
(наименьшее значение), больше верхнего
предельного значения
(наибольшее значение), или лежит вне
закрытого интервала
,
образованного двумя заданными границами
поля допуска на изготовление (табл.3.1).
Таблица 3.1 Годные и дефектные изделия при контроле по количественному признаку
Случай
|
Граничные значения
|
Изделие | |
годно, если
|
дефектно, если | ||
1 2 3 |
нижнее
предельное значение
верхнее
предельное значение
нижнее
предельное значение
|
|
|
Примеры.
При контроле прочности
нитей требуется, чтобы она была не меньше
нижнего предельного значения
;
нити с прочностью
нужно отсортировать. При контроле
тормозов автомашин длина
пути торможения может быть использована
как мера качества; тормоза с очень
длинным путем торможения
нужно классифицировать как дефектные.
При контроле диаметра
цилиндра двигателя задаются определенные
границы поля допуска
и
;
цилиндр с
или
уже не пригоден к употреблению.
Если
признак качества
имеет распределение
,
то для каждого из трех случаев можно
легко вычислить вероятность
того, что наугад взятое из партии изделие
будет дефектным. При одностороннем
задании предельных значений (одностороннее
ограничение) вероятности брака
составляют:
,
(3.1а)
.
(3.1б)
Аналогично при задании верхнего и нижнего предельных значений (двустороннее ограничение) следует, что:
(3.1в)
Уравнения
(3.1) позволяют вычислить вероятности
появления брака отдельного изделия.
При достаточно большом объеме партии
выражения (3.1) можно интерпретировать
как формулы для вычисления уровня
дефектности
.
Поясним подобную взаимосвязь на примере.
Если каждое изделие дефектно с вероятностью
0.01, то при подсчете дефектных изделий
в партиях объемом
нужно рассчитывать в среднем на
дефектных изделий на партию. Ожидаемый
в партии уровень дефектности равен
.
Величину
в (3.1) будем рассматривать в дальнейшем
как долю брака. Как видно, значение
при заданных предельных значениях
и/или
зависит от величин
и
в партии. Выразим эту зависимость записью
,
то есть вместо (3.1) запишем:
,
(3.2а)
(3.2б)
(3.2в)
Так
как в первом случае, то есть при задании
наименьшего предельного значения
,
имеет место
,
то выражение
определяет квантиль нормированного
нормального распределения:
.
(3.3а)
Соответственно в силу (3.2б) для второго случая выполняется:
.
(3.3б)
Используя
выражение (3.3), для
получаем:
.
(3.4а)
.
(3.4б)
Итак,
при одностороннем задании предельных
значений можно вычислить не только долю
брака
при заданном
,
но и наоборот - определить соответствующий
этой доле брака уровень настройки
процесса.
На
рис.3.5 представлены две возможности
отображения функциональной зависимости
между
и
,
выраженной формулой (3.2а).
Оба
графика построены при
и
,
так что доля брака вычисляется по формуле
.
По рис.3.5 видно, что получаемые при
различных
значения
можно интерпретировать как площади
под кривой нормального распределения.
Понятно,
что доля брака
при постоянном нижнем предельном
значении
с возрастающим
строго монотонно убывает. Это
обстоятельство показано на рис.3.5б, где
изображен график
.
Аналогичное
рис.3.5а графическое изображение
зависимости (3.2б) получают следующим
образом: при сохранении обеих кривых
плотности распределения вместо нижнего
предельного значения
отмечают верхнее предельное значение,
например,
,
и определяют площадь фигуры под кривой
плотности распределения, лежащей правее
.
Тогда
и
.
При заданном верхнем предельном значении
величина
с убывающим
всегда строго монотонно убывает.
При
величина
достигает минимальное значение, которое
равно нулю.
При
двух заданных предельных значениях
можно также наглядно изобразить
соотношение (3.2в). Это показано на рис.3.6,
где принято
и
.
а)
представление значений функции
площадями под кривой плотности
распределения;
б)
график функции
Рис.3.5
Доля брака
как функция
при заданном нижнем предельном значении
При
заданном интервале
величина
согласно (3.2в) состоит из двух частей:
и
.
является результатом перехода через
нижнее предельное значение
,
а
- результатом перехода через верхнее
предельное значение
.
Асимптотически, то есть при
,
величина
стремится к единице, так как одна из
частей
или
стремится к единице, а другая - к нулю.
Минимальная доля брака
достигается в середине интервала:
,
(3.5а)
.
(3.5б)
Выражение
(3.5а) показывает, что минимальная доля
брака
зависит только от соотношения допуска
к технологическому рассеиванию,
определяемому через стандартное
отклонение
.
Если допуск больше чем
,
то малой долей брака
можно пренебречь, она меньше чем
.
Если
,
то вычисление
упрощается также и при
- можно пренебречь меньшим из
и
.
Из
рис.3.6 видно, что зависимость
симметрична относительно
.
Симметричность означает, что два
математических ожидания
и
при равном удалении
от
обуславливают одинаковую долю брака.
Формально это доказывается с помощью формул (3.2в) и (3.5б):
(3.6)
Поэтому
зависимость
при двух заданных предельных значениях
неоднозначна: каждой доле брака
соответствует бесконечно много значений
.
Только если вместе с
задается также одно из слагаемых
или
(3.2в)
имеет единственное значение.
Таким
образом, в партиях, состоящих из изделий,
которые характеризуются имеющим
распределение
(
постоянно) признаком качества
,
последнее можно охарактеризовать через
долю брака
или же через уровень настройки
.
При задании только одного предельного
значения величины
и
находятся в однозначном соответствии
- качество партии можно оценить и через
,
и через
.При задании
двух границ поля допуска однозначного
соответствия между
и
не существует.
Заметим, что качество партии описывается
на практике почти исключительно через
долю брака
,
а не через уровень настройки
.
Из
предшествующих рассуждений следует,
что поставщик, который должен придерживаться
только одного предельного значения
или
,
может сделать долю брака в партии как
угодно малой. Для этого уровень настройки
необходимо сдвинуть вверх (если задано
;
см. рис.3.5) или вниз (если задано
),
что связано для него, как правило, с
большими производственными затратами.
а)
изображение значений функции
как площади под кривой распределения;
б)
график функции
Рис.3.6
Доля брака
как функция
при двух заданных границах поля допуска
и
При
необходимости соблюдения двух предельных
значений возможности управления
процессом изготовления значительно
ограничены. При постоянном технологическом
рассеивании процесса
можно, в лучшем случае, достигнуть
некоторого минимального уровня брака
по (3.5а).
Если
приемлемый уровень дефектности
для плана контроля меньше чем
,
то поставщик вообще не способен
производить партии изделий с
;
производственный процесс не гарантирует
соблюдение требуемых качественных
показателей. Поэтомуизучение
возможностей технологических процессов
(англ.: process capability studies) играет большую
роль в контроле производства. При
стабильном производственном процессе
применение плана контроля вообще
излишне. Если приемлемый уровень
дефектности
,
то поставщик, если он хочет избежать
частой забраковки партий, вынужден
поддерживать уровень настройки
постоянно точно посредине
поля допуска. Так как это едва ли возможно,
то на практике для приемлемого уровня
дефектности
следует выбирать значения, превышающие
минимальный уровень брака
,
например
.
Пример
3.1 Пусть
признак качества изготовляемых изделий
имеет нормальное распределение
.
Значения признака
не должны превышать наибольшего
предельного значения
.
а)
В каком соотношении находятся
и
?
Опишите характер зависимости
.
.
С
помощью этой зависимости при заданном
можно вычислить соответствующую долю
брака
.
Наоборот, в силу (3.4б) при известном
,
используя:
можно
найти такое
,
что
.
б)
Какая доля брака
соответствует значениям уровня настройки
Значения
функции
оформим в виде следующей таблицы:
-
3
0.023
4
0.159
4.5
0.309
5
0.500
5.5
0.691
6
0.841
7
0.977
8
0.999
Пример
3.2 Пусть
признак качества изделий имеет
распределение
.
Допуск на изготовление задан интервалом
.
а)
Вычислите минимальную долю брака
и соответствующее математическое
ожидание
.
Согласно
(3.5б) минимальная доля брака достигается
при
.
Она составляет:
б)
Пусть задана доля брака
.
Вычислите уровень настройки
,
для которого
,
при условии, что компоненты
и
равны 0.1.
Настоящее
условие
невыполнимо, так как равенство долей
брака возможно при условии:
.
Настоящее
условие верно при
,
а не при 0.1.
в)
Вычислите значение
при условии, что
Согласно
(3.6) существуют два математических
ожидания
,
для которых
.
При условии
в
силу
речь может идти только о значении
.
Получим из (3.2в) с учетом
:
Поэтому
или
.
Тогда
получим
,
при котором выполняются условия:
г)
Ответьте на последний вопрос, если
Какие значения может иметь
без названного выше дополнительного
условия?
Снова
имеем два значения
при
,
из которых
следует принять во внимание только
.
Используя зависимость (3.2в), получаем:
.
Следовательно,
или
.
Таким
образом, при
выполняются
условия:
Без
учета
,
наряду с
,
значение
можно было бы также рассматривать в
качестве решения уравнения
.