![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Клевлеев в.М. Статистические методы контроля и управления качеством
- •1 Качество и обеспечение качества
- •1.1 Качество как стратегическая цель предприятия
- •1.2 Различия в качестве и их причины
- •1.3 Обеспечение качества
- •Обеспечение качества
- •1.5 Систематизация методов статистического обеспечения качества
- •Статистическое обеспечение качества
- •2 Основы статистического обеспечения качества
- •2.1 Распределение признаков качества
- •2.1.1 Распределение дискретных признаков
- •2.1.1.1 Равномерное распределение и некоторые понятия теории статистических распределений
- •2.1.1.2 Распределение Бернулли
- •2.1.1.3 Гипергеометрическое распределение
- •2.1.1.4 Биномиальное распределение
- •2.1.1.5 Распределение Пуассона
- •2.1.2 Распределение непрерывных признаков
- •2.1.2.1 Равномерное распределение
- •2.1.2.2 Экспоненциальный (показательный) закон распределения
- •2.1.2.3 Нормальный (гауссовский) закон распределения
- •Замечание. Очевидно, что события, состоящие в осуществлении неравенства и, противоположные. Поэтому, если вероятность осуществления неравенстваравна, то вероятность неравенстваравна.
- •2.2 Статистическая проверка статистических гипотез
- •2.2.1 Процедура проверки статистических гипотез и свойства параметрических критериев
- •2.2.1.1 Процедура проверки статистической гипотезы
- •1. Определение генеральной совокупности и типа распределения
- •2. Формулировка гипотезы
- •3. Определение контрольной величины и ее распределение в случае принятия гипотезы
- •4. Задание уровня значимости и определение области отклонения гипотезы
- •5. Принятие решения и его интерпретация
- •2.2.1.2 Примеры проверки статистических гипотез
- •2.2.1.2.1Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения
- •2.2.1.2.1.1Среднее квадратическое отклонениеизвестно
- •2.2.1.2.1.2Среднее квадратическое отклонениенеизвестно
- •2.2.1.2.1.3Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического отклонениянормального распределения
- •2.2.1.2.1.4Оценка значимости отношений дисперсий двух нормально распределенных совокупностей
- •2.2.1.2.1.5Проверка гипотез относительно параметров нормально распределенных генеральных совокупностей
- •2.2.1.2.1.6 Последовательный анализ
- •2.3 Выборки значений показателей качества
- •2.3.1 Основные понятия теории выборочного метода
- •2.3.2 Методы реализации случайного отбора выборок штучной продукции
- •0 1 2 . . . . . . . . . . . 2 1 0
- •2.3.3 Обеспечение представительности выборок
- •2.3.4 Выборочные характеристики и их свойства
- •3 Приемочный контроль
- •3.1 Основные понятия
- •3.1.1 Общие требования
- •3.1.2 Выбор планов и схем статистического приемочного контроля качества и требования к достоверности контроля
- •3.2 Статистический приемочный контроль по количественному признаку
- •3.2.1 Взаимосвязь между долей брака в партии и уровнем настройки производственного процесса
- •3.2.2 Планы выборочного контроля при одностороннем ограничении и известной дисперсии
- •3.2.2.1 Описание метода контроля и выбор контрольных величин
- •3.2.2.2 Оперативная характеристика и ее параметры
- •3.2.2.3 Построение плана выборочного контроля при заданных рисках производителя и потребителя
- •3.2.3 Планы выборочного контроля при одностороннем ограничении и неизвестной дисперсии
- •3.2.3.1 Контрольные величины
- •3.2.3.2 Оперативная характеристика и построение плана контроля при заданном риске потребителя и производителя
- •3.2.4 План выборочного контроля при двустороннем ограничении
- •3.2.5 Национальные стандарты приемочного контроля по количественному признаку
- •3.2.5.1 Выборочный контроль по количественному признаку на основе приемлемого уровня качества
- •3.2.5.2 Выборочный контроль по количественному признаку на основе нормативного уровня несоответствий
- •3.2.5.3 Последовательные планы выборочного контроля по количественному признаку
- •3.2.5.4 Выборочный контроль нештучной продукции
- •3.3 Статистический приемочный контроль по качественному признаку
- •3.3.1 Однократные планы контроля
- •3.3.1.1 Описание метода контроля. Использование теоремы Моода
- •3.3.1.2 Оперативная характеристика при гипергеометрической функции распределения числа дефектных изделий
- •3.3.1.3 Биномиальная оперативная характеристика
- •3.3.1.4 Оперативная характеристика при распределении Пуассона
- •3.3.1.5 Сравнение трех оперативных характеристик
- •3.3.2 Параметры простых планов контроля
- •3.3.2.1 Квантили оперативных характеристик
- •0 0.1 Р0 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
- •3.3.2.2 Средний выходной уровень дефектности, предел среднего выходного уровня дефектности (и)
- •3.3.2.3 Среднее число проконтролированных изделий в партии и доля проконтролированных изделий (и)
- •3.3.2.4 Контроль с прерыванием и средний объем выборки ()
- •3.3.3 Построение простых планов контроля с заданными свойствами
- •3.3.3.1 Задание риска потребителя и риска поставщика
- •3.3.3.2 Другие исходные данные
- •3.3.4 Двукратные планы выборочного контроля
- •3.3.4.1 Описание метода контроля
- •3.3.4.2 Оперативная характеристика
- •3.3.4.3 Средний объем выборки
- •3.3.4.4 Другие параметры плана
- •3.3.4.5 Эквивалентные однократные и двукратные планы выборочного контроля
- •3.3.5 Многократные планы контроля
Р
AQL
IQL RQL
0 0.1 Р0 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
ис.3.24
и
значения оперативной характеристики
Поскольку
,
вероятность ошибки первого рода
составляет
,
а вероятность ошибки второго рода равна
или
.
В зависимости от вида используемой оперативной характеристики различают гипергеометрические и биномиальные квантили оперативной характеристики, а также квантили оперативной характеристики Пуассона. Для них применяются следующие обозначения:
-
- гипергеометрические квантили; квантили
,
-
- биномиальные квантили; квантили
,
-
- квантили характеристики Пуассона;
квантили
и
.
Наиболее
легко вычисляются квантили
оперативной характеристики Пуассона.
Определяющее уравнение для этих квантилей
получаем из зависимости формул (3.69).
Таким образом, при
должно
выполняться:
.
Такое
соотношение справедливо и для
.
Поэтому
.
(3.88а)
При
заданных значениях
и
с помощью таблицы квантилей
распределения
можно вычислить квантили оперативной
характеристики Пуассона.
Другую
формулу для
и
можно вывести из соотношения (3.70):
.
(3.88б)
Здесь
.
(3.89а)
Величины
(3.89а) являются квантилями гамма
распределении при
.
Они табулированы не только для
целочисленных
,
но и для всех действительных
.
Дли целочисленных
квантили (3.88б) совпадают с квантилями
(3.88а)
,
.
(3.89б)
Используя
(3.88б), можно вычислить
-
значение
оперативной характеристики Пуассона.
Приближение для
имеет вид
.
(3.90)
Приближение
(3.90) наиболее удобно для практических
расчетов, так как его применение не
требует наличия таблиц. Приемлемость
замены
на
можно оценить по таблице квантилей
гамма-распределения. Например, при
квантиль гамма – распределения по
таблице равен 1.678, а
.
При
квантиль равен 10.67, а
.
Для
вычисления биномиальных
квантилей оперативной характеристики
приведем две точные и две приближенные
формулы. Первую точную формулу получим
из соотношения
.
Таким образом, значение
является биномиальным квантилем
оперативной характеристики порядка
,
если выполняется условие
,
из
которого следует значение квантиля
.
(3.91а)
В
уравнении (3.91а) величину
можно заменить на обратную, равную
.
Тогда
.
(3.91б)
Квантили
распределения Фишера табулированы и
представлены в соответствующих таблицах.
Как правило, в таблицы внесены только
квантили порядка
.
Поэтому формулу (3.91а) следует применять
при
,
а формулу (3.91б) при
.
Если
имеются таблицы квантилей
бета-распределения,
то биномиальные квантили оперативной
характеристики можно вычислить, применяя
.
Для
аналогично (192б) получим:
.
(3.91в)
Приближенная
формула для
базируется на приближении Пуассона к
биномиальной оперативной характеристике
.
Используя зависимости приближения,
получим:
.
(3.92а)
Более близкое приближение имеет следующий вид
.
(3.92б)
значение
можно точно вычислить по (3.91) или
приближенно - по (3.92). Для более точного
вычисления
значения
имеется более удобная формула
.
(3.93)
Гипергеометрические
квантили оперативной характеристики
можно определить только приблизительно.
Из биномиального приближения
гипергеометрической функции
следует, что
,
(3.94а)
и из приближения Пуассона
.
(3.94б)
Более точным является следующее приближение:
.
(3.94в)
Более
удобной формулой для
значения
при гипергеометрической оперативной
характеристике
,
которая является настолько же точной,
как (3.94в), является следующая
.
(3.95)
Наиболее важные результаты, а именно выражения для гипергеометрической и биномиальной оперативных характеристик и характеристики Пуассона, а также для соответствующих квантилей, представлены в табл.3.14.
Пример
3.32 Для
одноступенчатого плана контроля ()
при
и
нужно определить биномиальный квантиль
оперативной характеристики
.
Воспользуемся зависимостью
.
По
таблице квантилей
-
распределения Фишера
.
Тогда
.
Применяя
приближения
и
,
получим другое значение:
.
Кроме
того, через приближение
и таблицу квантилей гамма-распределения,
получим
.
Используя более точную аппроксимацию, получим
.
Оперативная
характеристика
|
Приближенные выражения для оперативной характеристики |
Квантили
|
Приближения для IQL=0.5 |
Гипергеометрическая оперативная характеристика:
где
|
Биномиальное приближение:
приближение Пуассона:
|
|
|
Биномиальная оперативная характеристика:
|
Приближение Пуассона:
|
|
|
Оперативная характеристика Пуассона:
|
- |
|
|
Таблица 3.14 Оперативные характеристики и их квантили для простейших планов контроля
Пример
3.33 Вычислите
при
и
квантили оперативной характеристики
Пуассона
для
.
Квантили
.
Представим результаты в виде таблицы
Таблица квантилей оперативной характеристики Пуассона для простого плана контроля
|
0.999 |
0.99 |
0.95 |
0.50 |
0.1 |
0.01 |
|
0.0043 |
0.0082 |
0.0137 |
0.0367 |
0.0668 |
0.1005 |
Пример
3.34 Вычислите
для изображенных на рис.3.22 графиков
биномиальных оперативных характеристик
квантили
.
Используйте при этом точную формулу
.
По
точной формуле
и таблице квантилей
распределения
Фишера вычисляем:
-
,
-
,
-
.
Пример
3.35 Вычислите
приближенно три значения биномиального
квантиля
из предыдущего примера, применяя формулы
и
,
и сравните полученные результаты с
точными.
Применяя
и таблицу квантилей гамма-распределения,
получим:
-
,
-
,
-
.
Более
точная зависимость
дает следующие значения:
-
,
-
,
-
.
Пример
3.36 Определите
для оперативной характеристики Пуассона
при
с помощью формулы
квантили
.
Какой результат получился бы для
значения
при использовании приближения
?
По точной формуле и таблице квантилей гамма-распределения получаем:
,
,
.
значение
находим по зависимости
.
Пример
3.37 Определите
эти же квантили для биномиальной функции
,
применяя приближение
.
Какой результат для
значения
получился бы при применении точной
формулы
и приближения
?
Квантили
биномиальной оперативной характеристики
,
,
.
При
определении точного
значения
получим:
.
Другое приближение дает следующий результат:
.
Пример
3.38 Вычислите
названные квантили для гипергеометрической
оперативной характеристики
.
Используйте при этом приближение
.
Какой результат для
значения
получился бы при использовании
зависимостей
и
?
Значения квантилей оперативной характеристики равны:
,
,
.
По приближенной формуле
.
Пример
3.39 Вычислите,
используя формулу
,
для оперативной характеристики Пуассона
из предыдущего примера относительную
крутизну
в точке
.
Используйте при этом сначала точную
формулу
при
,
а затем приближенную формулу
.
Поясните полученный результат.
При
имеем:
.
По
таблице или по формуле
получим значение
,
тогда
.
Используя приближенную формулу, получим
.
Последний
результат означает, что при увеличении
доли брака
на 1 %, то есть при переходе от
к
,
вероятность приемки партии уменьшается
на 1.32 %.
Пример
3.40 Как
будет выглядеть
в биномиальном случае? Определите по
приспособленной для этого случая
формуле относительную крутизну
характеристики
в точке
,
применяя также зависимость
для оценки
.
В биномиальном случае сделаем следующую замену:
.
При
с учетом табличного значения или по
зависимости
равна
,
тогда получаем:
.
Пример
3.41 К
плану контроля ()
предъявляется требование: приемлемый
и браковочный уровни качества должны
быть как можно более близки друг к другу.
Как должен быть построен этот план
контроля?
Если
значения приемлемого и браковочного
уровней качества должны быть близки
друг к другу, то и кривая оперативной
характеристики должна быть достаточно
крутой (рис.5.25). Средства достижения
этого, например, является увеличение
уменьшение
.
Пример
3.42 Пусть
для характеристики
известен квантиль
(
).
Какие соотношения существуют между
этим гипергеометрическим квантилем
и квантилями соответствующих оперативных
характеристик
и
?
Поскольку
,
все три оперативные характеристики
для всех
при
являются вогнутыми, не имеют точек
перегиба и
,
поэтому
.
Если начертить эти три графика, то
получим ситуацию, изображенную на
рис.3.16, причем оперативная характеристика
Пуассона будет располагаться сверху,
а гипергеометрическая – снизу.