![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Клевлеев в.М. Статистические методы контроля и управления качеством
- •1 Качество и обеспечение качества
- •1.1 Качество как стратегическая цель предприятия
- •1.2 Различия в качестве и их причины
- •1.3 Обеспечение качества
- •Обеспечение качества
- •1.5 Систематизация методов статистического обеспечения качества
- •Статистическое обеспечение качества
- •2 Основы статистического обеспечения качества
- •2.1 Распределение признаков качества
- •2.1.1 Распределение дискретных признаков
- •2.1.1.1 Равномерное распределение и некоторые понятия теории статистических распределений
- •2.1.1.2 Распределение Бернулли
- •2.1.1.3 Гипергеометрическое распределение
- •2.1.1.4 Биномиальное распределение
- •2.1.1.5 Распределение Пуассона
- •2.1.2 Распределение непрерывных признаков
- •2.1.2.1 Равномерное распределение
- •2.1.2.2 Экспоненциальный (показательный) закон распределения
- •2.1.2.3 Нормальный (гауссовский) закон распределения
- •Замечание. Очевидно, что события, состоящие в осуществлении неравенства и, противоположные. Поэтому, если вероятность осуществления неравенстваравна, то вероятность неравенстваравна.
- •2.2 Статистическая проверка статистических гипотез
- •2.2.1 Процедура проверки статистических гипотез и свойства параметрических критериев
- •2.2.1.1 Процедура проверки статистической гипотезы
- •1. Определение генеральной совокупности и типа распределения
- •2. Формулировка гипотезы
- •3. Определение контрольной величины и ее распределение в случае принятия гипотезы
- •4. Задание уровня значимости и определение области отклонения гипотезы
- •5. Принятие решения и его интерпретация
- •2.2.1.2 Примеры проверки статистических гипотез
- •2.2.1.2.1Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения
- •2.2.1.2.1.1Среднее квадратическое отклонениеизвестно
- •2.2.1.2.1.2Среднее квадратическое отклонениенеизвестно
- •2.2.1.2.1.3Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического отклонениянормального распределения
- •2.2.1.2.1.4Оценка значимости отношений дисперсий двух нормально распределенных совокупностей
- •2.2.1.2.1.5Проверка гипотез относительно параметров нормально распределенных генеральных совокупностей
- •2.2.1.2.1.6 Последовательный анализ
- •2.3 Выборки значений показателей качества
- •2.3.1 Основные понятия теории выборочного метода
- •2.3.2 Методы реализации случайного отбора выборок штучной продукции
- •0 1 2 . . . . . . . . . . . 2 1 0
- •2.3.3 Обеспечение представительности выборок
- •2.3.4 Выборочные характеристики и их свойства
- •3 Приемочный контроль
- •3.1 Основные понятия
- •3.1.1 Общие требования
- •3.1.2 Выбор планов и схем статистического приемочного контроля качества и требования к достоверности контроля
- •3.2 Статистический приемочный контроль по количественному признаку
- •3.2.1 Взаимосвязь между долей брака в партии и уровнем настройки производственного процесса
- •3.2.2 Планы выборочного контроля при одностороннем ограничении и известной дисперсии
- •3.2.2.1 Описание метода контроля и выбор контрольных величин
- •3.2.2.2 Оперативная характеристика и ее параметры
- •3.2.2.3 Построение плана выборочного контроля при заданных рисках производителя и потребителя
- •3.2.3 Планы выборочного контроля при одностороннем ограничении и неизвестной дисперсии
- •3.2.3.1 Контрольные величины
- •3.2.3.2 Оперативная характеристика и построение плана контроля при заданном риске потребителя и производителя
- •3.2.4 План выборочного контроля при двустороннем ограничении
- •3.2.5 Национальные стандарты приемочного контроля по количественному признаку
- •3.2.5.1 Выборочный контроль по количественному признаку на основе приемлемого уровня качества
- •3.2.5.2 Выборочный контроль по количественному признаку на основе нормативного уровня несоответствий
- •3.2.5.3 Последовательные планы выборочного контроля по количественному признаку
- •3.2.5.4 Выборочный контроль нештучной продукции
- •3.3 Статистический приемочный контроль по качественному признаку
- •3.3.1 Однократные планы контроля
- •3.3.1.1 Описание метода контроля. Использование теоремы Моода
- •3.3.1.2 Оперативная характеристика при гипергеометрической функции распределения числа дефектных изделий
- •3.3.1.3 Биномиальная оперативная характеристика
- •3.3.1.4 Оперативная характеристика при распределении Пуассона
- •3.3.1.5 Сравнение трех оперативных характеристик
- •3.3.2 Параметры простых планов контроля
- •3.3.2.1 Квантили оперативных характеристик
- •0 0.1 Р0 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
- •3.3.2.2 Средний выходной уровень дефектности, предел среднего выходного уровня дефектности (и)
- •3.3.2.3 Среднее число проконтролированных изделий в партии и доля проконтролированных изделий (и)
- •3.3.2.4 Контроль с прерыванием и средний объем выборки ()
- •3.3.3 Построение простых планов контроля с заданными свойствами
- •3.3.3.1 Задание риска потребителя и риска поставщика
- •3.3.3.2 Другие исходные данные
- •3.3.4 Двукратные планы выборочного контроля
- •3.3.4.1 Описание метода контроля
- •3.3.4.2 Оперативная характеристика
- •3.3.4.3 Средний объем выборки
- •3.3.4.4 Другие параметры плана
- •3.3.4.5 Эквивалентные однократные и двукратные планы выборочного контроля
- •3.3.5 Многократные планы контроля
3.3.1.4 Оперативная характеристика при распределении Пуассона
Предположим,
что число
на рис.3.13 обозначает не количество
дефектных изделий в выборке, а количество
дефектов в выборке. Обозначим переменную
в этом случае как
.
Каждое из
изделий партии может быть теперь не
просто годным или дефектным, но иметь
несколько дефектов. До сих пор уровень
дефектности мы характеризовали числом
дефектных элементов в партии (абсолютная
мера) или долей брака
(относительная мера). Аналогично уровень
дефектности можно описать с помощью
числа дефектов
или с помощью среднего числа дефектов
на изделие. Как и раньше, проверяются
гипотезы (3.52), причем в этом случае доля
брака
и
заменяется на среднее число дефектов
и
.
Количество
дефектов в
ом
изделии партии является случайной
величиной
.
Допустим, что случайные величины
независимы и имеют распределение
с
.
Математическое ожидание распределения
Пуассона
,
то есть каждое изделие партии имеет в
среднем
дефектов. На основании свойства
воспроизводимости распределения
Пуассона общее число дефектов в выборке
также имеет распределение
.
Чтобы правильно объяснить описанную
ситуацию в партии и выборке, сравним ее
с ситуацией, принятой в разделе 3.3.1.2
(табл.3.13).
Таблица 3.13 Две основные ситуации при приемочном контроле
Засоренность
партии с
|
Относительная мера для оценки уровня дефектности |
Контролируемая величина и ее распределение |
Математическое ожидание контролируемой величины |
В
партии
|
Доля
брака
|
Число
(выборка с/без возвращения) |
|
Продолжение табл. 3.13
В
партии имеем
|
Среднее
число
|
Число
|
|
Поскольку
,
то вероятность
(3.64)
того,
что контролируемая величина
в случае
(
- число дефектов на изделие) попадает в
области
приемки партии, равна
.
Вероятность принятия партии со средним
числом ошибок
на изделие в силу определения функции
распределения Пуассона составляет:
.
(3.65)
Оперативную
характеристику для распределенной по
Пуассону контролируемой величины
называютоперативной
характеристикой Пуассона.
Как и биномиальная оперативная характеристика, так и оперативная характеристика Пуассона применяется для аппроксимации гипергеометрической оперативной характеристики. Используя приближение, получим:
,
(3.66а)
причем
.
В силу того, что
,
(3.66а) и (3.65), следует:
(3.66б)
в
случае если одновременно выполняются
условия:
(или
)
для доли брака и
,
для объема и доли отбора выборки.
Оперативную характеристику Пуассона используют и для аппроксимации биномиальной оперативной характеристики. При использовании зависимости приближения распределением Пуассона, получим
(3.67а)
в
случае если объем выборки
и доля брака
отвечают условиям
и
.
Вместо (3.67а) в силу
и (3.65) можно записать:
.
(3.67б)
Следует обратить внимание на то, что в выражении, примененном в (3.66б) и (3.67б) для аппроксимации гипергеометрической или биномиальной оперативных характеристик
(3.68)
в
аргументе присутствует доля брака
,
а не среднее число дефектов
,
как в (3.65). Данное выражение также является
оперативной характеристикой Пуассона,
так как в (3.65) и (3.68) формально речь идет
об одной и той же функции
.
На практике вместо трудных в применении
гипергеометрической
и биномиальной
оперативных характеристик чаще используют
оперативную характеристику Пуассона
.
В
силу эквивалентного через
распределение
соотношения
формулам (3.65) и (3.68) эквивалентны следующие
зависимости:
,
(3.69а)
.
(3.69б)
Подставляя
в выражение для гамма-распределения
,
получим:
,
(3.70а)
.
(3.70б)
Пример
3.24 На
предприятии, изготавливающем фотоаппараты,
приемочный контроль лакированных
корпусов проводится между лакированием
и окончательной сборкой. Предположим,
что число дефектов на корпус
(при лакировании) распределено по закону
Пуассона
.
Интенсивность
в этом случае имеет значение среднего
числа дефектов на корпус. Здесь можно
применить план контроля, согласно
которому партии принимаются в случае
с вероятностью не менее 95 %, а в случае
с вероятностью не более 10 %.
Имеем
следующий план контроля: из партии
объемом
корпусов берется выборка объемом
.
Если у этих пятидесяти корпусов будут
обнаружены не более десяти дефектов,
то партию отправляют на сборку. Если
обнаружено более десяти дефектов в
выборке, то партия будет отправлена на
доработку. Отвечает ли план контроля
названным условиям?
План
построен на основании гипотез
и
.
При контроле в качестве контролируемой
величины выступает число дефектов в
выборке
,
имеющее распределение
.
Гипотеза
(а тем самым и партия) будет принята,
если
.
Вероятность приемки партии в случае
для каждого
задается формулой (3.65), если в нее
подставить
и
:
.
При
или
по данным таблицы распределения Пуассона
получаем
,
.
В
силу того, что функция
строго монотонно убывает по
,
то имеет место при
,
а при
.
Партия корпусов будет принята с
вероятностью не менее 98.6 %, если
.
Поэтому выполняется только требование,
касающееся случая
.
Если в качестве приемочного числа
выбрать
,
то получим план, отвечающий обоим
требованиям. В этом случае партию
принимают, если
.
Тогда
,
.
Тем
самым, вероятность принятия партии при
измененном плане контроля для
составляет не менее 96.8 %, а для
не менее 7.0 %.
Пример
3.25 Изменим
предыдущий пример так, чтобы контролируемой
величиной было не число дефектов
,
а число дефектных изделий
в выборке. Договоримся, что корпус будет
считаться дефектным, если на нем обнаружен
один или несколько дефектов. План
контроля выглядит следующим образом:
если в выборке объемом
,
взятой из партии объемом
,
обнаружено не более 7 дефектных корпусов,
то партия принимается, в противном
случае она бракуется. С какой вероятностью
при этом плане будут приниматься партии,
если
или
?
Искомые
вероятности приемки партии определяются
по формуле (3.58а), так как контролируемая
величина
распределена гипергеометрически. Чтобы
применить формулу (3.58а), нужно сначала
вычислить долю брака
.
В силу того, что число дефектов
на корпус согласно предположению имеет
распределение
,
то вероятность того, что корпус будет
принят как «годный», составляет
.
Корпус бракуется с вероятностью
.
При
корпусов следует ожидать, что число
дефектных корпусов составит
.
Величина
,
округленная до ближайшего большего
целого числа, соответствует значению
параметра
гипергеометрического распределения
.
При
и
получаем значения
,
.
Поскольку
,
при
нужно рассчитывать на долю брака
,
а при
на
.
Соответствующие вероятности приемки
партии
с учетом таблиц гипергеометрического
распределения составляют:
,
.
Как
видим, намеченный план контроля
отвечает названным в предыдущем примере
условиям, то есть при
(что соответствует
)
партия будет принята с вероятностью не
менее 95.8 %, а в случае
(что соответствует
)
с вероятностью не более 8.65 %.
Пример
3.26 Вычислите
и
приближения для функций
и
в точках
при
.
Сравните с результатами, полученными
в примере 3.23.
Согласно полученным зависимостям
,
.
Функции
и
можно выразить следующим образом
.
Для
получаются результаты, представленные
в виде таблицы
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1.0000 |
0.04 |
0.9231 |
0.08 |
0.8521 |
0.12 |
0.7866 |
0.16 |
0.7261 |
0.20 |
0.6703 |
0.24 |
0.6188 |
0.28 |
0.5712 |
0.32 |
0.5273 |
0.36 |
0.4868 |
0.40 |
0.4493 |
0.44 |
0.4148 |
0.48 |
0.3829 |
0.52 |
0.3535 |
0.56 |
0.3262 |
0.60 |
0.3012 |
0.64 |
0.2780 |
0.68 |
0.2567 |
0.72 |
0.2369 |
0.76 |
0.2187 |
0.80 |
0.2019 |
0.84 |
0.1864 |
0.88 |
0.1720 |
0.92 |
0.1588 |
0.96 |
0.1466 |
1.00 |
0.1353 |
|
|
|
|
Если
данную таблицу сравнить с таблицами из
предыдущих примеров, то можно увидеть,
что для всех
при
выполняется условие:
.
Следует
отметить, что
в точке
в противоположность двум другим
оперативным характеристикам больше
нуля.
Пример
3.27 Вычислите
значения оперативной характеристики
и
в точках
при
.
Для гипергеометрической оперативной характеристики
и приближенных выражений для нее
,
получаем значения, представленные в следующей таблице
|
|
|
|
0 |
1.0000 |
1.0000 |
1.0000 |
0.02 |
0.8400 |
0.8508 |
0.8521 |
0.04 |
0.7029 |
0.7214 |
0.7261 |
0.06 |
0.5857 |
0.6096 |
0.6188 |
0.08 |
0.4860 |
0.5132 |
0.5273 |
0.10 |
0.4015 |
0.4305 |
0.4493 |
0.12 |
0.3301 |
0.3596 |
0.3829 |
0.14 |
0.2701 |
0.2992 |
0.3263 |
0.16 |
0.2198 |
0.2479 |
0.2780 |
0.18 |
0.1780 |
0.2044 |
0.2369 |
0.20 |
0.1432 |
0.1678 |
0.2019 |
0.22 |
0.1146 |
0.1370 |
0.1720 |
0.24 |
0.0911 |
0.1113 |
0.1466 |
0.26 |
0.0719 |
0.0899 |
0.1249 |
0.28 |
0.0564 |
0.0722 |
0.1065 |
0.30 |
0.0438 |
0.0576 |
0.0907 |
Видно,
что для всех
при
выполняется условие:
.
Начертите теперь графики оперативных характеристик.
Пример
3.28 Какие
значения принимает оперативная
характеристика Пуассона
в точках
и
.
По
(3.68) оперативная характеристика.
По таблице распределения Пуассона
находим:
,
,
,
.
Пример
3.29 Вычислите
при
.
По
(3.68) оперативная характеристика
.
По таблице распределения Пуассона
находим:
,
,
,
.
Пример
3.30 Вычислите
при
.
По
(3.68) оперативная характеристика
.
По таблице распределения Пуассона
находим:
,
,
,
.