![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Клевлеев в.М. Статистические методы контроля и управления качеством
- •1 Качество и обеспечение качества
- •1.1 Качество как стратегическая цель предприятия
- •1.2 Различия в качестве и их причины
- •1.3 Обеспечение качества
- •Обеспечение качества
- •1.5 Систематизация методов статистического обеспечения качества
- •Статистическое обеспечение качества
- •2 Основы статистического обеспечения качества
- •2.1 Распределение признаков качества
- •2.1.1 Распределение дискретных признаков
- •2.1.1.1 Равномерное распределение и некоторые понятия теории статистических распределений
- •2.1.1.2 Распределение Бернулли
- •2.1.1.3 Гипергеометрическое распределение
- •2.1.1.4 Биномиальное распределение
- •2.1.1.5 Распределение Пуассона
- •2.1.2 Распределение непрерывных признаков
- •2.1.2.1 Равномерное распределение
- •2.1.2.2 Экспоненциальный (показательный) закон распределения
- •2.1.2.3 Нормальный (гауссовский) закон распределения
- •Замечание. Очевидно, что события, состоящие в осуществлении неравенства и, противоположные. Поэтому, если вероятность осуществления неравенстваравна, то вероятность неравенстваравна.
- •2.2 Статистическая проверка статистических гипотез
- •2.2.1 Процедура проверки статистических гипотез и свойства параметрических критериев
- •2.2.1.1 Процедура проверки статистической гипотезы
- •1. Определение генеральной совокупности и типа распределения
- •2. Формулировка гипотезы
- •3. Определение контрольной величины и ее распределение в случае принятия гипотезы
- •4. Задание уровня значимости и определение области отклонения гипотезы
- •5. Принятие решения и его интерпретация
- •2.2.1.2 Примеры проверки статистических гипотез
- •2.2.1.2.1Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения
- •2.2.1.2.1.1Среднее квадратическое отклонениеизвестно
- •2.2.1.2.1.2Среднее квадратическое отклонениенеизвестно
- •2.2.1.2.1.3Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического отклонениянормального распределения
- •2.2.1.2.1.4Оценка значимости отношений дисперсий двух нормально распределенных совокупностей
- •2.2.1.2.1.5Проверка гипотез относительно параметров нормально распределенных генеральных совокупностей
- •2.2.1.2.1.6 Последовательный анализ
- •2.3 Выборки значений показателей качества
- •2.3.1 Основные понятия теории выборочного метода
- •2.3.2 Методы реализации случайного отбора выборок штучной продукции
- •0 1 2 . . . . . . . . . . . 2 1 0
- •2.3.3 Обеспечение представительности выборок
- •2.3.4 Выборочные характеристики и их свойства
- •3 Приемочный контроль
- •3.1 Основные понятия
- •3.1.1 Общие требования
- •3.1.2 Выбор планов и схем статистического приемочного контроля качества и требования к достоверности контроля
- •3.2 Статистический приемочный контроль по количественному признаку
- •3.2.1 Взаимосвязь между долей брака в партии и уровнем настройки производственного процесса
- •3.2.2 Планы выборочного контроля при одностороннем ограничении и известной дисперсии
- •3.2.2.1 Описание метода контроля и выбор контрольных величин
- •3.2.2.2 Оперативная характеристика и ее параметры
- •3.2.2.3 Построение плана выборочного контроля при заданных рисках производителя и потребителя
- •3.2.3 Планы выборочного контроля при одностороннем ограничении и неизвестной дисперсии
- •3.2.3.1 Контрольные величины
- •3.2.3.2 Оперативная характеристика и построение плана контроля при заданном риске потребителя и производителя
- •3.2.4 План выборочного контроля при двустороннем ограничении
- •3.2.5 Национальные стандарты приемочного контроля по количественному признаку
- •3.2.5.1 Выборочный контроль по количественному признаку на основе приемлемого уровня качества
- •3.2.5.2 Выборочный контроль по количественному признаку на основе нормативного уровня несоответствий
- •3.2.5.3 Последовательные планы выборочного контроля по количественному признаку
- •3.2.5.4 Выборочный контроль нештучной продукции
- •3.3 Статистический приемочный контроль по качественному признаку
- •3.3.1 Однократные планы контроля
- •3.3.1.1 Описание метода контроля. Использование теоремы Моода
- •3.3.1.2 Оперативная характеристика при гипергеометрической функции распределения числа дефектных изделий
- •3.3.1.3 Биномиальная оперативная характеристика
- •3.3.1.4 Оперативная характеристика при распределении Пуассона
- •3.3.1.5 Сравнение трех оперативных характеристик
- •3.3.2 Параметры простых планов контроля
- •3.3.2.1 Квантили оперативных характеристик
- •0 0.1 Р0 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
- •3.3.2.2 Средний выходной уровень дефектности, предел среднего выходного уровня дефектности (и)
- •3.3.2.3 Среднее число проконтролированных изделий в партии и доля проконтролированных изделий (и)
- •3.3.2.4 Контроль с прерыванием и средний объем выборки ()
- •3.3.3 Построение простых планов контроля с заданными свойствами
- •3.3.3.1 Задание риска потребителя и риска поставщика
- •3.3.3.2 Другие исходные данные
- •3.3.4 Двукратные планы выборочного контроля
- •3.3.4.1 Описание метода контроля
- •3.3.4.2 Оперативная характеристика
- •3.3.4.3 Средний объем выборки
- •3.3.4.4 Другие параметры плана
- •3.3.4.5 Эквивалентные однократные и двукратные планы выборочного контроля
- •3.3.5 Многократные планы контроля
2.1.2.3 Нормальный (гауссовский) закон распределения
Нормальное распределение - это наиболее важное распределение в статистике. В обеспечении качества оно играет центральную роль. Широкая область его применения объясняется тем, что случайная переменная, как правило, достаточно близко описывается этим распределением.
Нормальное распределение впервые было выведено в 1733 году Абрахамом де Муавром как предельный случай биномиального распределения и вновь открыто Карлом Фридрихом Гауссом в 1809/1816 годах как распределение погрешностей измерения.
Случайная
величина (или признак качества)
распределенанормально,
если плотность распределения
можно представить следующим образом:
для
.
(2.50)
Функция
распределения
имеет вид:
.
(2.51)
Как
видно из (2.50), нормальное распределение
определяется двумя параметрами -
и
.
Интеграл (2.51) нельзя представить
аналитически в замкнутой форме, а только
табличной.
На
рис.2.10 представлены графики функций
(2.50) и (2.51) при различных значениях
параметров
и
.
Параметры
и
имеют смысл, соответственно,математического
ожидания
и дисперсии.
Влияние параметров
и
на плотность и функцию распределения
можно проследить по рис.2.10.
Изменение
величины математического ожидания
не изменяет формы нормальной кривой, а
приводит лишь к ее сдвигу вдоль оси
:
вправо, если
возрастает, и влево, если
убывает. По-другому обстоит дело, если
изменяется параметр
(среднее квадратическое отклонение): с
возрастанием
максимальная ордината нормальной кривой
убывает, а сама кривая становится более
пологой, т.е. сжимается к оси
;
при убывании
нормальная кривая становится более
«островершинной», концентрируясь вокруг
,
и растягивается в положительном
направлении оси
.
В силу того, что нормальное распределение одномодально и симметрично, то медиана, мода и математическое ожидание совпадают:
.
Примечания: 1. Если
распределение дискретной случайной
переменной
имеет однозначно определенное наибольшее
значение, то соответствующее ему значение
называетсямодой распределения,
а само распределение одномодальным.
2. Медиана – такое
число
,
что
принимает с вероятностью 0.5 как значения
большие
,
так и меньшие
.
Плотность
распределения имеет две точки перегиба
,
а функция распределения только одну
.
Рис.2.10. Нормальное распределение для трех различных значений его параметров
Важное
значение занимает линейное
преобразование
нормально распределенной случайной
переменной
,
после которого получается величина с
математическим ожиданием
и дисперсией
.
Из этого следует:
.
Преобразование
можно провести для каждой случайной
переменной с дисперсией
.
Эта процедура называетсянормированием.
Нормирование особенно важно для
нормального распределения, так как оно
позволяет все возможные варианты
нормального распределения свести к
единому случаю
.
Такое распределение называетсянормированным
нормальным распределением.
Плотность
нормированного нормального распределения
получают из уравнения (2.50), если туда
поставить
и
:
.
(2.52)
Соответственно выглядит и функция нормированного нормального распределения:
.
(2.53)
Графики функций (2.52) и (2.53) изображены на рис.2.10. Значения функции распределения (2.53) табулированы (см. таблицы ПА.1-ПА.2).
Вследствие того, что
,
или
,
(2.54)
табл.2.2
составлена только для положительных
значений аргумента. С помощью таблиц
можно определить не только значения
функции нормированного нормального
распределения (2.53) для заданного
,
но и значения функции (2.51) общего
нормального распределения, так как:
,
(2.55а)
.
(2.55б)
Используя зависимость (2.55а) и табл.2.2 можно проверить, например, следующие равенства:
;
.
Как
функции (2.51) и (2.53), так и обратные функции,
т.е. определенные для
квантильные функции
и
,
нельзя представить в замкнутой
аналитической форме. Значения:
;
(2.56)
,
(2.57)
являются
квантилями порядка
.
Для квантилей (2.56) и (2.57) имеет место
следующие определения:
;
(2.58)
.
(2.59)
В таблицах ПБ.1-ПБ.3 представлены некоторые квантили нормированного нормального распределения.
Квантили
различных распределений, как правило,
табулированы (например, квантили
распределения
Стьюдента (псевдоним английского
статистика В.Госсета), квантили
распределения
Фишера, квантили
распределения
и т.д.).
Аналогично (2.54) имеем
.
(2.60)
С
помощью табл.2.3 можно определить не
только квантили (2.57) нормированного
распределения, но с помощью вытекающего
из
соотношения
,
(2.61)
также и квантили (2.56) общего нормального распределения.
Для
нормально распределенной случайной
переменной характерно понятие
доверительный
интервал.
Тот интервал оси абсцисс, в котором
сосредоточено
значений
случайной переменной
,называется
интервалом с доверительной вероятностью
,
причем
-
малое число, например,
.
Обычно используются два типа доверительных
интервалов:односторонние
и двухсторонние.
Последние называются также центральными
интервалами.
На
односторонний усеченный снизу
доверительный интервал
приходится
значений,
причем больших значений случайной
величины, в то время как остающиеся
значения исключаются из рассмотрения
(рис.2.11б). Используя квантиль
,
этот интервал можно записать в виде
.
Соответствующая доверительная вероятность
.
(2.62а)
При
одностороннем усеченном сверху
доверительном интервале
можно использовать аналогичную запись
.
(2.62б)
При
двухстороннем доверительном интервале
с доверительной вероятностью
из рассмотрения исключаются
наименьших и
наибольших значений переменной
(рис.2.11а), так что интервал имеет вид
.
Доверительная вероятность
.
(2.63)
Если распределение подчиняется нормальному закону, то согласно (2.61) и условию симметрии (2.60) выражения (2.62) и (2.63) принимают вид:
,
(2.64а)
,
(2.64б)
.
(2.64в)
Примечание. Настоящая зависимость, но только решенная относительно математического ожидания, используется при проведении статистического приемочного контроля по количественному признаку (метод доверительных границ).
Если
непрерывная случайная величина
задана плотностью распределения
,
то вероятность того, что
примет значение, принадлежащее заданному
интервалу
,
такова
.
С
помощью настоящей зависимости можно
вычислять, например, вероятность
попадания случайной величины в заданный
интервал
для нормального распределения
:
.
(2.65)
Рис.2.11.
Доверительные интервалы для нормально
распределенной случайной переменной
при доверительной вероятности
Часто
требуется вычислить вероятность того,
что отклонение нормально распределенной
случайной величины
по абсолютной величине меньше заданного
положительного числа
,
то есть требуется найти вероятность
осуществления неравенства
.
В
этом случае, заменив это неравенство
равносильным ему двойным неравенством
или
.
Тогда получим
.
(2.66)
В
том случае, когда
,
получим
.Отметим,
если две случайные величины нормально
распределены и
,
то вероятность принять значение,
принадлежащее интервалу
,
больше у той величины, которая имеет
меньшее значение
.
Этот факт полностью соответствует
вероятностному смыслу параметра
(
- есть среднее квадратическое отклонение,
которое характеризует рассеяние
случайной величины вокруг математического
ожидания
).