Задача 5.1

Какой вид имеет тригонометрический ряд для периодических синусоидальных функций тока или напряжения?

Решение

Всякую несинусоидальную периодическую функцию, удовлетворяющую условиям Дирихле можно представить тригонометрическим рядом Фурье, состоящим в общем случае из постоянной с переменной частотой, например, для несинусоидального тока.

(5.1)

где I₀– постоянная составляющая,

I_m1– амплитуда 1-й (основной) гармоники тока,

I_m2…I_mk– амплитуды остальных (высших) гармоник тока,

Ψ_i1…Ψ_ik– начальные фазы гармонических составляющих,

ω, 2ω, 3ω…kω – соответственно, частоты 1, 2, 3…k-той гармоник

С возрастанием порядкового номера гармоники частота её увеличивается, а амплитуда может уменьшаться.

Для часто встречающихся (стандартных) несинусоидальных кривых тока и напряжения аналитические выражения давно известны и приведены в справочной литературе. Но на практике различные режимы работы электромеханических и электромагнитных устройств дают свой спектр гармоник. Для того, чтобы в результате исследований написать тригонометрический ряд Фурье для таких кривых, используется и другая форма ряда: с синусными и косинусными составляющими. Например, для k-той гармоники

,

если обозначить ,весь ряд можно представить

(5.2)

При разложении графического изображения «незнакомых» функций в тригонометрический ряд, вначале определяют синусные (В) и косинусные (С) составляющие, потом переходят к стандартному ряду (1).

Задача 5.2

Сколько гармонических составляющих необходимо учитывать в практических расчётах?

Решение

В практических расчётах учитывают только те гармоники, амплитуды которых составляют не менее 5% от амплитуды основной гармоники, – той, что стоит в ряду после постоянной составляющей и это не всегда бывает первой или второй гармоникой, если классифицировать их по частоте.

Задача 5.3

Какими видами симметрии обладают несинусоидальные периодические кривые тока или напряжения?

Решение

Несинусоидальные периодические кривые обладают тремя видами симметрии.

1. Функции, симметричные относительно оси абсцисс, приведены на рисунке 5.1

Рисунок 5.1 – Функция, симметричные относительно оси абсцисс

Условие симметрии:

Свойство функции, симметричной относительно оси абсцисс.

Функция в своём аналитическом выражении не содержит постоянной составляющей и чётных гармоник.

2. Функции, симметричные относительно оси ординат, приведены на рисунке 5.2

Рисунок 5.2 – Функция, симметричные относительно оси ординат

Условие симметрии

Свойство функции, симметричной относительно оси ординат.

Функция в своём аналитическом выражении не содержит синусных составляющих.

5.2.3. Функции, симметричные относительно начала координат, приведены на рисунке 5.3

Рисунок 5.3 – Функция, симметричные относительно начала координат

Условие симметрии

Свойство функции, симметричной относительно начала координат: функция в своём аналитическом выражении не содержит постоянной составляющей и косинусных составляющих.

Знания свойств симметричных функций помогает в проведении их анализа.